1、评 注 这 种 列 表 格 的 本 质 是 分 类 处 理 , 但 在 具 体 的 分 类 过 程 中 易 重 易 漏 (尤 其 是 兼 职 情 况 较 多 时 ) , 而 表 格 法 十 分 直 观 , 很 容 易 就 可 以 看 出 所 有 情 况 的 分 布 . 415 对 象 相 同 隔 板 法 例 9 (1) (2004 年 湖 北 省 四 校 联 考 卷 ) 高 二 年 级 要 从 3 个 班 级 抽 取 10 人 参 加 数 学 竞 赛 , 每 班 至 少 1 人 , 一 共 有 种 不 同 的 安 排 方 法 . (2) (2003 年 荆 州 市 质 检 卷 ) 10 个 相
2、 同 的 小 球 放 到 3 个 不 同 的 盒 中 , 每 个 盒 不 空 , 一 共 有 种 不 同 的 放 法 . 解 析 两 例 的 实 质 一 样 , 属 于 同 一 模 型 对 象 相 同 , 这 类 问 题 处 理 方 式 较 多 , 但 隔 板 法 简 单 易 操 作 : 10 个 相 同 的 小 球 有 9 个 空 档 (确 保 盒 子 不 空 ). 从 9 个 空 档 中 选 2 个 空 档 放 入 两 块 隔 板 , 将 小 球 分 成 三 部 分 (每 一 种 放 档 板 的 放 法 对 应 着 10 个 小 球 分 成 3 部 分 的 分 法 ) , 每 部 分 一
3、一 对 应 着 一 个 不 同 的 小 盒 . 因 此 一 有 C 29 种 不 同 的 放 法 , 即 C 29 = 36 种 . 而 把 10 个 竞 赛 名 额 分 配 给 3 个 班 , 每 班 至 少 1 个 名 额 的 方 法 与 此 一 模 一 样 . 评 注 研 究 的 对 象 是 不 加 区 别 的 元 素 时 , 一 般 考 虑 隔 板 法 . 这 是 一 个 基 本 的 数 学 模 型 , 由 此 变 形 的 问 题 是 : x + y + z = 10 有 多 少 组 正 整 数 解 ?而 解 法 不 变 . 416 对 应 问 题 映 射 法 例 10 (2002 年
4、 荆 州 市 质 检 卷 ) 3 封 信 投 寄 到 4 个 邮 筒 中 一 共 有 种 不 同 的 投 递 方 法 . 解 析 3 封 信 要 投 寄 出 去 , 相 当 于 每 封 信 都 要 有 “ 象 ” , 而 邮 筒 可 空 , 因 此 相 当 于 A 集 合 中 有 3 个 元 素 , B 集 合 中 有 4 个 元 素 , 求 集 合 A 到 集 合 B 的 映 射 个 数 , 完 成 这 件 事 分 三 步 : 投 第 一 封 信 有 4 种 方 法 , 投 第 二 封 信 有 4 种 方 法 , 投 第 三 封 信 有 4 种 方 法 , 由 分 步 计 数 原 理 可 知
5、 一 共 有 43 = 64 种 方 法 . 评 注 更 为 一 般 的 结 论 是 : 集 合 A 中 有 m 个 元 素 , 集 合 B 中 有 n 个 元 素 , 则 从 A 到 B 的 映 射 有 nm 个 , 而 从 B 到 A 的 映 射 有 m n 个 . 解 决 排 列 组 合 问 题 只 要 本 着 这 四 大 原 则 , 再 结 合 实 际 情 况 选 用 不 同 方 法 , 解 答 就 会 变 得 简 单 轻 松 而 快 捷 . (收 稿 日 期 : 20050902) 椭 圆 的 又 一 个 有 趣 性 质 233600 安 徽 省 涡 阳 一 中 蒲 荣 飞 椭 圆
6、有 很 多 有 趣 的 性 质 , 本 文 再 给 出 一 个 . 性 质 1 过 椭 圆 x 2 a2 + y 2 b2 = 1 (a b 0) 的 焦 点 斜 率 为 k 1 的 直 线 交 椭 圆 于 A 、 B 两 点 , 若 C 为 线 段 A B 的 中 点 且 直 线 OC 的 斜 率 为 k 2, 则 椭 圆 的 离 心 率 e 满 足 e2 = 1 + k 1k 2. 证 明 设 A 、 B 两 点 的 坐 标 分 别 为 (x 1, y 1)、 (x 2, y 2) , 则 x 21 a2 + y 21 b2 = 1, x 22 a2 + y 22 b2 = 1. 两 式
7、相 减 得 x 21 - x 22 a2 + y 21 - y 22 b2 = 0, 即 k 1 = y 1 - y 2x 1 - x 2 = - b 2 (x 1 + x 2) a2 (y 1 + y 2) = - b 2 2x c a2 2y c = - b2 a2 k 2 , 从 而 有 a2k 1k 2 = - b2 = c2 - a2, 两 边 同 除 以 a2 得 k 1k 2 = e2 - 1, 即 e2 = 1 + k 1k 2. 注 当 k 1 = 1, k 2 = - 13 时 , 即 为 2005年 高 考 全 国 卷 理 (21) 文 (22) 题 的 第 (1) 问
8、: 已 知 椭 圆 的 中 心 为 坐 标 原 点 O , 焦 点 在 x 轴 上 . 斜 率 为 1 且 过 椭 圆 右 焦 点 F 的 直 线 交 椭 圆 于 A 、 B 两 点 , OA + OB 与 a = (3, - 1) 共 线 . (1) 求 椭 圆 的 离 心 率 ; (2) 略 . 由 性 质 1 立 得 e2 = 1 - 13 = 23 , 从 而 e = 63 . 对 于 双 曲 线 也 有 类 似 性 质 : 性 质 2 过 双 曲 线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1 (a 0, b 0) 的 焦 点 斜 率 为 k 1 的 直 线 交 双 曲 线 于 A 、 B 两 点 , 若 C 为 线 段 A B 的 中 点 且 直 线 OC 的 斜 率 为 k 2, 则 双 曲 线 的 离 心 率 e2 = 1 + k 1k 2. (证 明 略 ) 对 于 抛 物 线 有 无 类 似 性 质 , 若 有 , 它 们 有 无 一 个 统 一 的 形 式 ?感 兴 趣 的 读 者 不 妨 一 试 . (收 稿 日 期 : 20050621) 522006 年 第 1 期 中 学 数 学
