1、1.函 数 逼 近,在数值计算中经常遇到求函数值的问题，手算时常常通过函数表求得，用计算机计算时若把函数表存入内存进行查表，则占用单元太多，不如直接用公式计算方便。因此，我们希望求出便于计算且计算量省的公式近似已知函数 f(x)，例如，泰勒展开式的部分和 就是f(x) 的一种近似公式，用它求x0附近的函数值f(x)，误差较小，当 |x-x0| 较大时，误差就很大。例如,f(x)=ex 在-1,1上用：,近似ex，其误差：,于是,误差分布如图：,x,y,-1,1,它在整个区间上误差较大，若在计算机上用这种方法计算ex ，如精度要求较高，则需取很多项，这样即费时又多占存储单元。因此，我们要求在给定
2、精度下计算次数最少的近似公式，这就是函数逼近要解决的问题。,定义 近似代替又称为逼近，函数 f(x) 称为被逼近函数；P(x) 称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差。,函数逼近问题可叙述为：对函数类 A 中给定的函数 f(x) ，需要在另一类较简单的便于计算的函数类 B （BA）中，找一个函数P(x) ，使P(x) 与 f(x) 之差在某种度量意义下达到最小。,函数类 A通常是区间 a,b 上的连续函数，记作Ca,b ；函数类 B 通常是代数多项式，有理多项式，三角多项式，分段多项式等容易计算的函数。,最常用的度量标准有两种： 1、一致逼近（均匀逼近） 以 作为度量误差f(x)- P(x) 的
3、“大小” 标准。 2、平方逼近（均方逼近） 以 作为度量误差f(x)- P(x)的“大小” 标准。,5.6 函数的最佳平方逼近,5.6.1 最佳平方逼近的概念与解法 一、最佳逼近的意义 设0 x,1x, , nx Ca, b, 它们线性无关. 又给定 f (x)Ca, b, 求 p*(x) Hn Span0 x,1x, , nx, 使得 f (x) p*(x) 在某种意义下最小. 二、最佳平方逼近的概念 定义 对于给定的 f (x)Ca, b,若有 p*(x)Hn ,使得 ( f p*, f p*) min( f p, f p) | p Hn. 则称 p*(x) 是(在子空间Hn中)对 f (
4、x) 的最佳平方逼近函数.,下面用到的内积为,定理5.7 设 f (x)Ca, b，p*(x)Hn , 在 Hn 中, p*(x) 是对 f (x) 最佳平方逼近的函数 ( f p*, j )=0, j=0,1,n. 其中, 0 x,1x, , nx为子空间 Hn 的一组基. 证: () 反证法, 设有函数 kx, 使得 ( f p*, k) k 0 , 令 q(x) p*(x) kx k /(k, k), 显然, q(x)Hn . 利用内积的性质, 可得,k,这说明, p*(x) 不是对 f (x) 最佳平方逼近的函数, 矛盾.,() 若 ( f p*, j )=0, j=0,1,n 成立,
5、 对任意的 p(x)Hn ,有,p*在 Hn 中是对 f 的最佳平方逼近函数. 证毕.,即 设 f (x)Ca, b, p*(x)Hn ,在 Hn 中, p*(x) 是对 f (x) 最佳平方逼近的函数 对任意的 p(x)Hn ,均有 ( f p*, p )=0.,由于,及,定理5.8 设 f (x)Ca, b, 在子空间 Hn 中, 对 f (x) 最佳平方逼近的函数是唯一的. 证明 假定, 在Hn 中, p(x) 和 q(x) 都是对 f (x) 最佳平方逼近的函数, 由定理5.7的系,知,这说明, p(x) q(x) 于 a, b.,三、最佳平方逼近函数的求解 利用 ( f p*, j
6、)=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设 故,这是一个以 c*0,c*1, , c*n 为未知数的线性方程组. 称(5.82) 为法方程 或 正规方程. 法方程的矩阵形式是,由于 0 x,1x, , nx 线性无关, 可以推得上系数阵是非奇异的. 故 (5. 82) 有唯一解 c*j .,四、最佳平方逼近的误差 记 ( f p*, f p*), 称其为最佳平方逼近误差, 利用 ( f p*, p*) = 0, 可有,例6 定义内积 试在H1=Span1,x中寻求对于f(x)= 的最佳平方逼近元素p(x).,解 法方程为,当 0 x,1x, , nx, 是正交系时,求解最佳平方逼近式(5.8
7、2)中的系数非常容易.,目标: 求下面的最佳平方逼近式中的系数,变为,5.6.2 正交系在最佳平方逼近中的应用,一、Legendre 多项式的应用,给定函数 f (x)Ca, b, 求 f (x)的Legendre最佳平方逼近. Legendre 多项式的权函为(x) 1, 故内积,L-正交多项式为 L0 x, L1x, , Lnx, 用(5.83), 有,函数 f 的 L-最佳平方逼近函数为,（5.85）,遇到区间a,b, 通过下面的变换把问题转化到-1,1上处理.,函数 f (x) 的 Legendre 无穷级数,例7 求函数 f (x) ex 在 -1,1 上的 Legendre 三次最
8、 佳平方逼近多项式. 解: 前4个Legendre 多项式为,2.3504,所求三次最佳平方逼近多项式为,例8 求 f(x)= 在区间 0,1 上的一次最佳平方逼近多项式.,解,先求g(t)在区间 -1,1 的一次最佳平方逼近多项式.,把 t=2x-1 代入 q1(x)，就得 在区间0,1的一次最佳平方逼近多项式:,二、Chebyshev多项式的应用,给定函数 f (x)C-1, 1, 求 f (x)的Chebyshev 最佳平方逼近. Chebyshev多项式的内积,C-正交多项式为 T0 x, T1x, , Tnx, 函数自己的内积,Hn SpanT0, T1, , Tn 中任意函数为,函数 f 的 C-最佳平方逼近函数为,ak,函数 f (x) 的 Chebyshev 无穷级数,（5.86）,例9 求 f(x)=arcsinx 按 Chebyshev 多项式展开的 n=7 的部分和.,解,数学符号 x0,x1, , xm, 0 x,1x, , nx, k=0,1, , n x0 n 0 a x b k 1, nm, k 0 f (x)Ca, b (xj,yj),j=0,1,m, a x0 x1 xm b , ( f p*, f p*), , (x) 1, , L0 x, L1x, , Lnx,
