1、5 在数值计算时应注意的几个问题,顺序：基本运算顺序,精度（数值稳定性）.,运算方案能否控制误差的传播和积累以保证计算结果有足够的,一般标准,运算次数的多少（计算效率）；,运算过程是否规律（易编程）；,需要记录的中间结果的多少（储存量）；,精度（数值稳定性）.,运算方案能否控制误差的传播和积累以保证计算结果有足够的,运算次数的多少（计算效率）；,1. 在用近似公式计算时，要注意收敛速度，要讲效率,例5 计算 ln2 的近似值，要求误差小于10.,解：, 计算量太大； 各项的舍入误差会损失和的有效数字,(b) 用级数 来计算,用前 9 项（即取 m = 8）计算就能达到精度要求:,舍入误差,(a
2、) 用级数 来计算,否则，则称这个算法是数值不稳定的。,2. 数值计算中要构造和使用数值稳定的计算方法,算法是数值稳定的,计算结果受计算过程中舍入误差影响较小时。,(1) 注意计算机数系运算特点,有理数的有限数集，即浮点集,补例6 讨论在计算机数系中分别用公式,解,无误差时，必相等；,有舍入误差时，可能不相等，,6.799,-1.556,解,在实数集上，,取4位有效数字近似计算：,非严格单调序列 且极限也不等于a,4位有效数字舍入运算：,1234+0.4+0.3+0.2+0.1=1234,0.4+0.3+0.2+0.1+1234=1235,若出现“溢出”应立即中断,应避免出现“大数吃小数”,事
3、先预防 事后解决,补例9,解,可防溢出,精确运算：,补例8,补例7,逆向递推公式,补例1 当 n = 0,1,2,8 时,求积分 的近似值.,用递推关系进行计算时必须注意误差的积累.,见本章 2 例1,解,错误的原因？,(2) 设法控制误差的传播,逆向递推公式：,(3) 防止两接近的数相减,补例10 求下列方程的根,解,用 8 位浮点数 (有效数字)计算,用 4 位浮数点(有效数字)计算,两接近数相减 损失了有效数字,仍用4 位浮点数计算,数值稳定 的方法,减法本身完全正确,误差传播的研究十分重要,是因为求 的误差(并不大), 进行减法后导致不应忽视的后果,准确,补例11 设有方程组,将系数舍入成 2 位浮点数, 则方程为,补例12,3. 计算过程中应十分小心处理病态的数学问题,病态问题一般要用高精度(双精度)计算或解病态问题的方法解决,以上两问题称为病态的问题，病态是问题本身固有的,线性齐次方程,例9,(b) 利用秦九韶算法：,(a) 直接计算每一项再求和：,解：,补例13,解：,(a) 作矩阵和向量的乘法：略.,(b) 作向量的内积和加法：,计算次数少 过程规律,乘除法: kn,乘除法: kn2,4.构造和使用计算量省的计算方法, 不仅能提高计算精度， 而且减少误差的积累,数值计算中应注意的问题,作业： P14 5.,本课重点：,
