1、时间复杂度：如果一个问题的规模是n ，解这一问题的某一算法所需要的时间为 T(n) ，它是 n 的某一函数， T(n) 称为这一算法的“时间复杂度”。渐近时间复杂度： 当输入量 n 逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂度”。当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度 T(n)=O(f(n)简称为时间复杂度， 其中的 f(n) 一般是算法中频度最大的语句频度。此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。 但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运
2、行时间不会比它更长。常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1) 、对数阶 O(log2n) 、线性阶 O(n) 、线性对数阶 O(nlog2n) 、平方阶 O(n2) 、立方阶 O(n3) 、k 次方阶 O(nk) 、指数阶 O(2n) 。下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。1、设三个函数f,g,h分别为f(n)=100n3+n2+1000,g(n)=25n3+5000n2,h(n)=n1.5+5000nlgn请判断下列关系是否成立：（ 1）f(n)=O(g(n)（ 2）g(n)=O(f(n)（ 3）h(n)=O(n1.5)（ 4）h(n)=O(nlgn)这
3、里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n) ，这里的O 是数学符号，它的严格定义是 若 T(n) 和 f(n) 是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n)表示存在正的常数C 和 n0, 使得当 nn0 时都满足 0T(n) C?f(n) 。 用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n 趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0 的常数。这么一来，就好计算了吧。(1) 成立。题中由于两个函数的最高次项都是n3, 因此当 n 时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。（2 ）成立。与上同理。（3 ）成立。与上同理。（4 ）不成立。由于当 n 时 n1.5比
4、 nlgn 递增的快，所以 h(n)与 nlgn 的比值不是常数，故不成立。2、设 n 为正整数，利用大 O 记号，将下列程序段的执行时间表示为 n 的函数。(1)i=1;k=0while(i1while(x=(y+1)*(y+1)y+;解答： T(n)=n1/2，T(n)=O(n1/2)，最坏的情况是y=0 ，那么循环的次数是 n1/2 次，这是一个按平方根阶递增的函数。(3)x=91;y=100;while(y0)if(x100)x=x-10;y-;elsex+;解答：T(n)=O(1) ，这个程序看起来有点吓人， 总共循环运行了1000次，但是我们看到n 没有 ?没。这段程序的运行是和n
5、 无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。O(1)Temp=i;i=j;j=temp;以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模 n 无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1) 。如果算法的执行时间不随着问题规模n 的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是 O(1) 。O(n2)2.1.交换 i 和 j 的内容sum=0 ；（一次）for(i=1;i=n;i+)（n 次）for( j=1;j=n;j+)（n2 次）sum+ ；（n2 次）解： T(n)=2n2+n+1=O(n2
6、)2.2.for(i=1;in;i+)y=y+1; for( j=0;j=(2*n);j+)x+; 解：语句 1 的频度是 n-1语句 2 的频度是 (n-1)*(2n+1)=2n2-n-1f(n)=2n2-n-1+(n-1)=2n2-2该程序的时间复杂度T(n)=O(n2).O(n)2.3.a=0;b=1; for(i=2;i=n;i+)s=a+b;b=a;a=s;解：语句 1 的频度： 2,语句 2 的频度： n,语句 3 的频度： n-1,语句 4 的频度： n-1,语句 5 的频度： n-1,T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).O(log2n)2.4.i=1; whil
7、e(i=n)i=i*2; 解：语句 1 的频度是 1,设语句 2 的频度是 f(n), 则： 2f(n)=n;f(n)=log2n取最大值 f(n)=log2n,T(n)=O(log2n)O(n3)2.5.for(i=0;in;i+)for( j=0;ji;j+)for(k=0;kj;k+)x=x+2;解：当 i=m,j=k的时候 ,内层循环的次数为k 当 i=m 时,j 可以取0,1,.,m-1, 所以这里最内循环共进行了0+1+.+m-1=(m-1)m/2次所以 ,i 从 0 取到 n,则循环共进行了:0+(1-1)*1/2+.+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为
8、O(n3).我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最坏情况运行时间是O(n2) ，但期望时间是O(nlogn) 。通过每次都仔细地选择基准值，我们有可能把平方情况(即 O(n2) 情况 )的概率减小到几乎等于0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以(O(nlogn) 时间运行。下面是一些常用的记法：访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1) 操作。一个算法如果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取O(logn)时间。用 strcmp比较两个具有 n 个字符的串需要O(n) 时间。常规的矩阵乘算法是O(n3) ，因为算出每个元素都需要将n 对元素相乘并加到一
9、起，所有元素的个数是n2 。指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n 个元素的集合共有 2n 个子集 ,所以要求出所有子集的算法将是O(2n) 的。指数算法一般说来是太复杂了， 除非 n 的值非常小， 因为，在这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题(如著名的“巡回售货员问题”) ，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况， 通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。一个经验规则有如下复杂度关系clog2Nnn*Log2Nn2n32n3nn!其中 c 是一个常量，如果一个算法的复杂度为c、log2N 、n 、n*log2N,那么这个算法时间效率比较高，如果是2n,3n,n!，那么稍微大一些的 n 就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。
