1、章末综合测评 (三)空间向量与立体几何(时间： 120 分钟，满分： 160 分)一、填空题 (本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分请把答案填在题中的横线上 )1已知空间直角坐标系中有点 A(2,1,3)，B(3,1,0)，则 |AB|_.解析 AB(5,0， 3)，22 2|AB 334.|50答案 342若 a(2x,1,3)，b (1，2y,9)，且 a 与 b 为共线向量，则 x _，y_.解析 由题意得2x13131 ， x ，y .2y9621 3 答案 6 23下列有关空间向量的四个命题中，错误命题为_.【导学号 ：71392218】空间中有无数多组不共面的向量可作为向
2、量的基底；向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行；平面 的法向量垂直于内的每个向量； 空间中的任一非零向量都可惟一地表示成空间中不共面向量的线性组合的形式解析 若向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行或在平面内，故 错误答案 4若向量 a(1，2)，b (2， 1,2)，且 a 与 b 的夹角的余弦值为89，则_.解析 82 4由已知得，9 a b |a|b|25 9第 1页82 ，解得 或 25255.3(6)2答案 2 或55的三个顶点坐标分别为， 31， C(1,0，5ABCA(0,02)B2，2，22)，则角 A 的大小为 _ 33123ABAC解析 AB 2，2，0，AC(1
3、,0,0)，则 cos A 112，|AB|AC|故角 A 的大小为 30.答案 301111 的中心为 O，则下列各命题中，真命题是6已知正方体 ABCD-A B C D_OAOD与OB1OC1是一对相反向量；OBOC与OA1OD1是一对相反向量； 是一对相反向量；OAOBOCOD与 OA1OB1 OC1OD1OA1 OA与OCOC1是一对相反向量解析 四边形 ADC1B1 为平行四边形， O 为对角线交点，与1是一对相反向量， 真；OAOD1OCOB11， OB ， 1OD11， 1OCCBOAD ACBD A1，OBOC1 ODOA 假；如图，设正方形 ABCD 的中心为 O1，正方形1
4、1 1 1 的中心为O2 ，则A B C DOA OB OC OD4OO1，OA1 OB1 OC1OD1 4OO2，第 2页OO1与OO2是相反向量， 真； OA1 OAAA1，OCOC1C1C，是相反向量， 真AA1与1C C答案 7在空间直角坐标系 O-xyz 中，已知 A(1， 2,3)，B(2,1， 1)，若直线 AB 交平面 xOz 于点 C，则点 C 的坐标为 _.【导学号 ：71392219】解析 设点 C 的坐标为 (x,0，z)，则 AC(x1,2，z3)，AB(1,3， 4)，5 x 12 z 3x3，因为 AC与 AB共线，所以1 3 4，解得1所以点 C 的坐标为z3，
5、513， 0， 3 .5 1 答案 3，0，38二面角 -l -等于 120，A，B 是棱 l 上两点， AC，BD 分别在半平面 ，内， ACl， BD l，且 ABACBD1，则 CD 的长等于 _解析 设BDa，AB b，AC c，由已知条件， |a|1，|b| 1，|c|1，a，b 90，b，c 90，a，c 120. 2 222222ab 2ac2bc4，|CD|CAABBD|cba|a bc则 |CD|2.答案 2 9已知点 A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，则当 QAQB取最小值时，点 Q 的坐标为 _解析 2由题意可知 OQ O
6、P，故可设Q(，2)，则 QAQB 6 16第 3页 10 6 4 224 Q 的坐标为3 ， 当 时， QAQB取得最小值，此时点334483，3，3 .答案 4，4，833310在空间中，已知平面过点 A(3,0,0)和 B(0,4,0)及 z 轴上一点 C(0,0，a)(a0)，如果平面 与平面 xOy 的夹角为 45，则 a_.解析 平面 xOy 的法向量为 n(0,0,1)，AB (3，4,0)，AC(3,0，a)，3x 4y0，设平面 的法向量为 u (x， y， z)，则3x az0，则 ，取 ，则aa，2 123x ， ， 1 ，故4y azz 1u34cos nua a191
7、62 2 .12又 a0，a 5 .答案 12511空间四边形 ABCD 中，连接 AC，BD，若 BCD 是正三角形，且E 为1 3 其中心，则 AB 2BC2DEAD的化简结果是 _.【导学号 ：71392220】13 解析 如图，延长 DE 交 BC 于 F，易知 F 是 BC 中点，则 AB 2BC2DE3 2 AD AB AD BF DF DBBFDF DBBFFD DF FD 0.2 3答案 012已知动点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体对角线 BD1 上一点，记 D1 P .当 APC 为钝角时，则 的取值范围为 _D1 B第 4页解析 建立如图所示
8、的空间直角坐标系D-xyz，则有 A(1，0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，所以 D1B(1,1， 1)，由题意，可设 D1PD1B(， )，连接 D1A，D1C，则 D1A(1,0， 1)，D1C (0,1，1)，所以 PAPD1D1A (， ，) (1,0， 1) (1， ，1)，PCPD1D C(， ，1) (0,1，1) ( ，1，1)，显然 APC 不是平角，当 APC 为钝角时， PAPCcosAPCPA，PC 0.|PA| |PC|1由此得出 3，1 .1答案 3，113在 ABC 中，若 ACB90， BAC60，AB8，PC平面 ABC，PC4
9、，M 是 AB 上一点，则 PM 的最小值为 _解析 建立如图所示的坐标系， 则 C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0，43，0)，P(0,0,4)，设 M(x，y,0)，则AM(x 4，y,0)，AB( 4,4 3，0)，易知 ABAM，即( 4,4 3，0) (x 4， y,0)，x 4 4，3xy430，所以 y 4 3得3x，PM(x，y，y43， 4) (x,4 3 3x， 4) 22 (4 3 3x)2 162 28， |PM | x 4(x 3) 0 x4，当 x 3时， |PM min2 7.|答案 2714 如图 1 所示，在空间 直角 坐标系中，有 一棱 长为 a 的
10、正方体 ABCO-ABC D， AC 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为 _.第 5页【导学号 ：71392221】图 1解析 由题图易知 A(a,0,0)，B(a，a,0)， C(0，a,0)，A (a,0，a)aaaaF a，2，0 ，E 2，2，2 .a 2aa 2a 2a2a22EFa2 22 02 4 4 2 a.2答案 2 a二、解答题 (本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )15(本小题满分 14 分 )如图 2，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB1，AD 2， AA1 3， BAD90， BAA1 DAA160，求 A
11、C1 的长图 2解 AC ABADAA ，11 2|AC1 AD1|ABAA ) 2 2 2 1ABADAA12 AB AB 1ADADAAAA ).AB1，AD2，AA1 3， BAD 90， BAA1 DAA160， ， AB，AD，1AD190ABAAAA60 |AC1| 1 4 92 1 3cos 60 2 3 cos 60 23. 本小题满分14分如图3，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， O 为 AC 与16 ()BD的交点，1 的中点求证： A1平面GBD.G 为 CCO图 3证明 设A B a，A D b， A Ac.11111第 6页则 ab 0， ac 0， bc 0
12、.1 1而A O A AAOA A 2(AB AD)c2(ab)，111BDADABba，1111OGOCCG 2(ABAD)2CC12(ab)2c， 11A1 c a b a)O BD22(b1c(b a)2(ab) (ba)122cbca2(b a )1222(|b|a| ) 0.A1 BD，OA1O BD.同理可证 A1O OG.A1O OG.又 OG BDO 且 A1O?平面 BDG，A1O 平面 GBD.17(本小题满分 14 分 )如图 4，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在平面互相垂直， CEAC，EFAC，AB2，CEEF1.图 4(1)求证： AF平面 BDE；(2)
13、求证： CF平面 BDE.【导学号 ：71392222】证明 (1)设 AC 与 BD 交于点 G.第 7页1EFAG，且 EF 1， AG 2AC1，四边形 AGEF 为平行四边形， AF EG.EG? 平面 BDE，AF?平面 BDE，AF平面 BDE.(2)连接 FG，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在平面互相垂直，且 CEAC，CE平面 ABCD.如图，以 C 为原点， CD，CB，CE 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A( 2， 2，0)， B(0， 2， 0)，22D( 2，0,0)， E(0,0,1)，F 2， 2 ，1
14、，22CF 2 ， 2， 1，BE(0，2， 1)，DE(2， 0,1)， CF ， ，BE 0 1 1 0 CF DE1 0 1 0CFBE，CFDE，CFBE，CFDE.又 BEDEE，CF平面 BDE.18(本小题满分 16 分)在 Rt ABC 中，ACBC1，BCA 90，现将 ABC沿着与平面 ABC 垂直的方向平移到 A1B1C1 的位置，已知 AA1 2，分别取 A1B1，A1A 的中点 P，Q.的模；(1)求 BQ求 ，CB1，cosBA1，CB1的值，并比较 BQ，CB1与BA1，(2) cosBQCB1的大小；第 8页1 C1(3)求证： ABP.解 (1)以 C 为原点
15、，建立空间直角坐标系，如图，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，11B(0,1,0)，C1(0,0,2)，P 2，2，2， Q(1,0,1)，B1(0，1,2)， A1(1,0,2)，111BQ(1，(1， ， ， 1 1,1) CB(0,1,2) BA1 2) AB(1,1,2) C P1，1， 0，22 |BQ| 12 1 2 12 3. 3，(2) BQCB 0121， |BQ|15，|CB1| 02 1222 1115cosBQ，CB1BQCB 3 515 .|BQ| |CB1| 1146，|CB|0145，又 BA CB 0143，|BA |1111 330BA1CB1cosBA1
16、，110 .CB30|BA1| |CB1|15300 15 10 11(3)证明： AB1C1P (1,1， 2) ， ， 0 0，22AB1 C1 ，即 1C1PABP.19 (本小题满分16 分)如图 5，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，第 9页PA底面 ABCD， AC 2 2，PA2，E 是 PC 上的一点， PE2EC.图 5(1)证明： PC平面 BED；(2)设二面角 A-PB-C 为 90，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小 .【导学号 ：71392223】解 如图，设 ACBDO，以 O 为坐标原点， OC，OD 所在直线分别为x 轴， y 轴建立空间
17、直角坐标系，则A(2，0,0)， C( 2，0,0)，P(2， 0,2)设 BD 2a，则 B(0， a,0)， D(0，a,0)(1)证明： PC(22，0， 2)，BD(0,2a,0)2222由 PE2EC，得 E 3 ，0，3，则 BE3，a，3 . 220，所以 PCBE (22， 0， 2) ， ，3a3 2，0， 2) (0,2a,0)0，PCBD(2 即PCBE，PCBD.又因为 BEBDB，所以 PC平面 BED.(2)设平面 PAB 的法向量 n(x1， y1，z1)2， a,0)易得 AP(0,0,2)， AB(1nAP0，2z 0，由得2x1 ay1 0.nAB0，2取
18、x11，可得 n 1， a ，0.设平面 PBC 的法向量 m(x2， y2，z2)易得 BC ( 2， a,0)，CP(22， 0,2)第 10 页22mBC 0，2xay 0，由得22x22z20.mCP 0，2取 x21，可得 m1， a ， 2 .因为二面角 A-PB-C 为 90，22所以 mn0，即 11 a a 200，解得 a 2.2)，所以 PD ( 2， 2， 2)，平面 PBC 的一个法向量为 m (1， 1，|PDm| 1所以 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值为2，所以 PD 与平面 PBC 所成角|PD|m|的大小为 6.20(本小题满分 16 分 )如图 6，在
19、长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1AD1， E 为 CD 的中点图 6(1)求证： B1 E AD1 ；(2)在棱 AA1 上是否存在一点P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角 A-B1E-A1 的大小为 30，求 AB 的长解 (1)证明：以 A 为原点， AB，AD，AA1的方向分别为x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图设ABa，则 A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0，a1,1)， E 2，1，0 ，B1(a,0,1)，aa，1，011 ， 1， 1，1， .故AD (0,1,1)， B E2AB
20、(a,0,1) AE2 a 011(1) 1 0.AD11B E2B11.EAD第 11 页(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z0)，使得 DP平面 B1AE，此时 DP(0， 1， z0)又设平面 B1AE 的法向量为 n(x，y，z)axz0，nAB1 0，由得 ax2 y0.nAE0，取 x1，得平面 B1 AE 的一个法向量 n1， a， a .21a001要使 DP平面 B AE，只要 nDP，即 2az 0，解得 z 2.又 DP?平面 B1AE，1存在一点 P，满足 DP平面 B1AE，此时 AP2.(3)连接 A1D，B1C，由长方体 ABCD-A1B1C1D1 及 AA1AD1，得 AD1A1D.B1C A1D，AD1B1C.又由 (1)知 B1EAD1，且 B1C B1EB1.AD1 平面 DCB11A .1 1的一个法向量，此时1AD1是平面ADA B E(0,1,1)nAD1设 AD1 与平面B1AE 的法向量n 所成的角为，则 cos |n|AD1|a2a.a222 1 4 a二面角 A-B11 的大小为E-A30 . |cos | cos 30 ，第 12 页3a25a23即2 ，解得 a2，2 1 4即 AB 的长为 2.第 13 页
