1、2019 届江苏省高三数学复习中档题满分练习 （含答案）从某种角度看数学属于形式科学的一种，下面是2019届江苏省高三数学复习中档题满分练习，请考生及时练习。1. 在 ABC中，角 A， B， C 的对边分别为 a，b， c，设向量m=(a， c) ， n=(cos C ， cos A).(1) 若 mn， c=a，求角 A;(2) 若 mn=3bsin B ， cos A= ，求 cos C 的值 .2. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， E， F 分别为 BB1， AC的中点 .(1) 求证： BF平面 A1EC;(2) 求证：平面 A1EC平面 ACC1A1.3. 若两个椭圆的离
2、心率相等，则称它们为相似椭圆 . 如图，在直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：+=1， A1， A2 分别为椭圆 C1 的左、右顶点 . 椭圆 C2 以线段 A1A2为短轴且与椭圆 C1为相似椭圆 .(1) 求椭圆 C2 的方程 ;(2) 设 P 为椭圆 C2 上异于 A1，A2 的任意一点，过 P 作 PQx轴，垂足为 Q，线段 PQ交椭圆 C1 于点 H.求证： H为 PA1A2 的垂心 .( 垂心为三角形三条高的交点 )4. 如图，某园林单位准备绿化一块直径为 BC的半圆形空地，ABC外的地方种草， ABC 的内接正方形 PQRS为一水池，第 1页其余的地方种花，若BC=a，ABC=
3、，设 ABC的面积为S1，正方形的 PQRS面积为 S2.(1) 用 a，表示 S1 和 S2;(2) 当 a 固定，变化时，求的最小值.中档题满分练 ( 一)1. 解 (1) mn， acos A=ccos C.由正弦定理得sin Acos A=sin Ccos C，化简得 sin 2A=sin 2C.A， C(0， ) ， 2A=2C(舍 ) 或 2A+2C=，A+C=， B=，在 RtABC中， tan A= ，故 A=.(2) mn=3bcos B， acos C+ccos A=3bsin B.由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=3sin2B，从而 sin(A+C)
4、=3sin2B.A+B+C=， sin(A+C)=sin B，从而 sin B= ，cos A=0， A(0 ，) ，A， sin A=. sin Asin B ， ab，从而 AB，B 为锐角，cos B=.cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B2. 证明 (1) 连接 AC1并交 A1C于点 O，连接 OE， OF，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，四边形 ACC1A1为平行四边形，第 2页所以 OA=OC1.又因为 F 为 AC的中点，所以OFCC1且 OF=CC1.因为 E 为 BB1的中点，所以BECC1且 BE=CC1，所以 BEOF 且 B
5、E=OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BFOE.又 BF 平面 A1EC， OE平面 A1EC，所以 BF平面 A1EC.(2) 由 (1) 知 BFOE，因为 AB=CB， F 为 AC的中点，所以 BFAC，所以 OEAC.又因为 AA1底面 ABC，而 BF 底面 ABC，所以 AA1BF.由 BFOE得 OEAA1，而 AA1， AC平面 ACC1A1，且 AA1AC=A，所以 OE平面 ACC1A1.因为 OE平面 A1EC，所以平面A1EC平面 ACC1A1.3.(1)解 由题意可知A1(- ， 0) ， A2( ， 0) ，椭圆 C1 的离心率e=.设椭圆 C2 的方程为
6、 +=1(a0) ，则 b=.因为 =，所以 a=2.所以椭圆C2 的方程为 +=1.(2) 证明设 P(x0 ， y0) ， y00，则 +=1，从而 y=12-2x.将 x=x0 代入 +=1 得 +=1，从而 y2=3-= ，即 y=.因为 P， H 在 x 轴的同侧，所以取y=，即 H(x0 ， ).所以 kA1PkA2H=-1，从而 A1PA2H.第 3页又因为 PHA1A2，所以 H 为 PA1A2 的垂心 .4. 解 (1)S1=asin acos =a2sin 2，设正方形边长为x，则 BQ=， RC=xtan ，+xtan +x=a ，x=，S2=.(2) 当 a 固定，变化时，令 sin 2=t ，则 =(0利用单调性求得t=1 时， =.2019 届江苏省高三数学复习中档题满分练习的内容就是这些，希望对考生提高成绩有帮助。第 4页
