1、43.2空间两点间的距离公式1 理解空间两点间距离公式的推导过程和方法2 掌握空间两点间的距离公式及其简单应用空间两点间的距离公式空间中点 P1(x1， y1 ，z1 )、 P2( x2， y2， z2)之间的距离是|P1P2| _.空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间的距离公式的特例【做一做】空间直角坐标系中，点A( 3,4,0)和点 B(2 ， 1,6)的距离是 ()A 2 43B 2 21C 9D. 86答案： xx22 y y2 z z211212【做一做】D空间两点间距离公式的推导方法剖析： (1)先看简单的情形：设空间直角坐
2、标系中点P(x， y， z)，求点 P 到原点 O 的距离如图所示，设点P 在 xOy 平面上的射影是B，则点 B 的坐标是 (x，y,0)在 xOy 平面上2 2有 |OB| x y .在直角三角形OBP中，根据勾股定理，得|OP|OB| 2 |BP|2 .因为 |BP| |z|，所以|OP|x2 y2 z2.这说明在空间直角坐标系Oxyz 中，任意一点 P(x， y， z)与原点之间的距离是|OP|x2 y2 z2.(2)下面再看一般的情况：如图所示，设点P1(x1，y1， z1)， P2(x2，y2，z2)是空间任意两点，且两点在 xOy 平面上的射影分别为 M ，N，那么 M ，N 的
3、坐标分别为 (x1，y1,2，y2,0)，(x0)在 xOy 平面上， |MN| x1 x22 y1 y22.过点 P1 作 P2N 的垂线，垂足为 H ，则 |MP 1| |z1|， |NP2| |z2|，所以 |HP2| |z1 z2|.在直角三角形P1HP2 中，|P1H| |MN| x1 x2 2 y1 y2 2，根据勾股定理，得|P1P2|P1H|2 |HP2|2x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2.因此空间中两点P1(x1， y1， z1)， P2(x2， y2， z2) 间的距离公式可以表示成下面形式：|P1P2|x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2.题型一：
4、 求空间中两点间的距离【例 1】 在长方体 ABCDA 1B 1C1D1 中，|AB| |AD| 3，|AA 1| 2，点 M 在 A1C1 上，|MC 1| 2|A 1M| ，点 N 在 D1C 上且为 D1C 的中点，求 M ，N 两点间的距离反思：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的空间直角坐标系，以确定两点的坐标确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定题型二： 两点间距离公式的应用【例 2】 点 P 在 x 轴上，它到点 P1 (0， 2，3)的距离为到点 P2(0,1
5、，1)的距离的 2 倍，则点 P 的坐标是 _反思：空间两点间距离公式是本小节的重点，也是将来在选修模块中继续学习空间直角坐标系的基础本题应用两点间距离公式列出方程求得点P 的坐标，体现了两点间距离公式的应用答案：【例 1】 解： 如图，分别以AB， AD ，AA1 所在的直线为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系由题意可知C(3,3,0) ， D(0,3,0) |DD 1| |CC1| 2，C1(3,3,2) ， D1(0,3,2) N 为 CD1 的中点，3点N 的坐标为2， 3， 1 .M 是 A1C1 的三等分点且靠近A1 点，点M 的坐标为 (1,1,2) 由两点间距离公式，
6、得322221|MN |2 1 3 1 1 22 .即 M， N 两点间的距离为212 .【例 2】 (1,0,0) 或 ( 1,0,0)1若 A(4 ， 7,1)， B(6,2 ，z)， |AB| 11，则 z _.2已知点 A(1 ， 2,1)关于坐标平面xOy 的对称点为 A 1.则 A ， A 1 两点间的距离为_3已知点 A(1,2,3) ，B(2 ， 1,4)，点 P 在 y 轴上，且 |PA| |PB|，则点 P 的坐标是 _ 4如图，长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，已知 |AB| 3，|BC| 2， |AA 1| 2，用空间两点间的距离公式求对角线 B 1D 的长5已知点A( x,5 x,2x 1)， B(1 ， x 2,2x)，求 |AB| 的最小值答案： 1 5 或 7 2.23.(0， 7， 0)64 解： D (0,0,0) ，B1(2,3,2) ，|B1D|22 3222 17 .5 解： |AB|x 122x)2(3x 3)2(3825 35 14x232 x1914 x.777当 x 8时， |AB|最小，最小值为35.77
