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常见数列通项公式的求法.docx

上传人:HR专家 文档编号:11844172 上传时间:2021-02-22 格式:DOCX 页数:18 大小:81.14KB
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资源描述

1、常见数列通项公式的求法1利用等差等比数列通项公式例 1 :设 an 是等差数列, bn 是各项都为正数的等比数列,且a1 b11 , a3 b521 ,a5 b3 13 ,求 an , bn 的通项公式。相关高考1:等差数列 an 的前 n 项和为 S , a12,S93 2 求数列 an 的通项 an 。n13相关高考2:实数列 an 是 等比数列 , a 71,且 a4 , a51,a6 成等差数列,求数列 an 的通项 an 。2ana1S1 ,n1利用数列的前 n 项和,SnSn 1 , n2例 2:各项全不为零的数列 ak 的前 k 项和为 Sk,且 Sk 1 ak ak 1( kN

2、 * ),其中 a1=1.Z 求数列 ak 。2相关高考1 :已知数列a 的前 n项和 Snn29n,则其通项an _;若它的第 k 项满足n5 ak8,则 _ 相关高考2:数列 a 的前 n 项和为 Sn , a11, an 12Sn (nN* ) 求数列a 的通项 annn相关高考3 :已知各项均为正数的数列an的前 n 项和 Sn 满足 S11 ,且 6Sn( an 1)(an2) ,n N 求 an 的通项公式。3利用递推关系3 1 递推关系an 1an f n其中 a 为常数a1a例 3:数列 an中, a12 ,an 1an cn( c 是常数, n1,2,3,L),且 a1, a

3、2, a3 成公比不为 1 的等比数列求an的通项公式相关高考1:已知数列a满足11,求数列a的通项公式。a1, anan 1n 2nnn221相关高考2:已知数列an满足 nan 1n1 an2 ,且 a12 ,求数列an的通项公式。3 2 递推关系an 1fn an 其中 a 为常数a1a常见数列通项公式的求法第 1 页 共 9 页例 4:已知数列bn的首 b11,其前 n 和 Sn1n1bn ,求数列bn的通 公式。2相关高考: 数列 an 足 nan 12 a1a2Lan且 a11,求数列an的通 公式。3 3 推关系an 1panq1a1a其中 p,q,a 常数且 p令 an1p a

4、n,整理得 an 1panp 1,所以p1q ,即q,从而 an 1qp anq,所以数列anq是等比数列。p1p1p1p 1例 5:已知数列 an 中, a12 , an 1(21)(an2) , n1,2,3, L求 an 的通 公式。相关高考1: 数列 an 的首 a(0,1), an3an1 , n2,3,4, 求 an 的通 公式。12相关高考2:已知数列an:3, 5, 7, 9, 2n1 ,。另作一数列bn,使得 b1a1 ,且当n2 , bnabn 1 ,求数列bn的通 公式。相关高考3:数列 an中, an0, a11且 an an2136,求数列an的通 公式。解: 由 a

5、nan2136得 2log 3 an 1log 3 an6 ,令 bnlog 3 an ,有 2bn 1bn6 , n 1n 1bn121bn2,所以 bn2b121log3 12122 n,222从而 bn222n22 2 n,故 an3。3 4 推关系an1panf n其中 p, a 常数且 p1, fn 非常数a1a由 推式 an 1panfn两 同除以pn 1 ,得 an1anfn, 此采用 3. 1中所述的pnpn1pn1累加法可求。例 6:在数列an 中, a12, an1ann1(2)2 n (nN ) ,其中0 求 an 。an2n 1ann解: 由 an 1ann 1(2)2

6、nN*),0, 可得12(nn1n1,常见数列通项公式的求法第 2 页 共 9 页an2nann所以为等数列,其公差为1,首项为2n0. 故n 1,n所以数列an 的通项公式为 an (n1) n2n .相关高考: 数列 an的前 n 项和为 Sn 且满足 a11,an12Snn2n1 ,求 an 。解: 由 an 1 2Snn2n1有: an2Snn2n11 ,两式相减得:11an 1an2an2n2 即: an13an2n2 ,两边同除以3n 1 ,得:an 1an2n2,令 bnan,则 bnbn2 n1, b1a11,从而13n 13n 13n3n 13n3 3bn b1n1 2 k1

7、1n1k 1121 1 2n 11 2n 1 。3k 12k 13k 1 3k 134 33n2 2 3n故 an3nn12。23 5 递推关系an 1panqan1 n2其中 p,q, a, b 为常数a1a , a2 =b3 5 1 若 pq1时, p1q ,即 an 1anq anan1,知 an1an为等比数列,对此采用3. 1 中所述的累加法可求。例 7:已知数列a满足 a1 1,a25 , an25 an12 an ,求数列an的通项公式。n333解:由 an5an 12得: anan 12anan23an 两边减去 an1231,所以3nan 1an是公比为2 ,首项为 a2a1

8、2的等比数列,所以an1an2,3332n1122122n1332n 1即 ana1L2,即 an33321 2 1133相关高考: 已知数列an中, a11,a22, an2an 11an ,求数列an的通项公式。233常见数列通项公式的求法第 3 页 共 9 页解:由 an 22 an11 an 两边减去 an1得: an2an 11an1an,所以33311n 1an 1an 是公比为a11 的等比数列,所以anan,首项为 a213,3n101n211n 111133即 ana1L,即 an1133311314335 2 若 pq1 时,存在 x1 , x2满足 an1x1anx2 a

9、nx1an 1,整理得an 1x1x2anx1x2an1 ,有 x1x2p, x1x2q ,从而 an1x1an是等比数列,对此采用3. 4 中所述的方法即可。4利用倒数变形,an 1an,两边取倒数后换元转化为an 1panq 。pan q例 8:已知数列an满足: anan 1, a11,求数列an的通项公式。3 an 11解: 取倒数:13 an11311是等差数列,anananan1111( n 1)31(n1)3an1ana13n2相关高考 1:数列 an满足: a133nan 1n2 ,求 an。,且 an2an 1n12解: 将条件变为: 1n1n1),因此1n为一个等比数列,其

10、首项为an (1an31an1 1 1 ,公比 1 ,从而1 n 1,据此得 an n 3n。a133an3n3n 1相关高考 2:数列 an满足: a12a , an 1 2aa2a 0 ,求数列an的通项公式。an解: an 1a anaa, a 0 ,所以1an11,aanan 1a a an aana aan常见数列通项公式的求法第 4 页 共 9 页令 bn1, bn 1bn1,因而bn是首 b11,公差 1 的等差数列,anaaaa所以bn1n 11n ,故 ana1aa。aaabnn5利用 猜想11例 9: 正整数数列an 足: a24 ,且 于任何nN *,有 21anan 1

11、21 an 111annn 1( 1)求 a1 , a3 ;( 2)求数列a 的通 an n解: 由 a11, a24 , a39 ,猜想: ann2 下面用数学 法 明1 o 当 n1 , 2 ,由( 1)知 ann2 均成立;2o 假 nk(k2) 成立, akk 2 , nk1 时由得 21k( k 1)1121k 2 ( k1)ak 1k (k2k1)ak 1k 2ak 1k2k 2k 1k 1(k1)2(k1)2ak 1(k1)211k 21k因 k2 ,22(k1)2,(k1)(k1)k(k1)(k2)0 ,所以k210 1k 11,所以1,又ak 1*(k 1)2ak 1(k 1

12、)2k10 1N,所以故 ak 1(k1)2,即 nk1 , ann2成立由 1 o , 2 o 知, 任意 nN * , ann2相关高考: 已知点的序列 An ( xn ,0), nN * ,其中 x10 ,x2a(a0) , A3是 段 A1A2 的中点,A4 是 段 A2 A3 的中点,An 是 段An2 An1 的中点,(1)写出 xn 与 xn 1 , xn 2之 的关系式(n3 )。常见数列通项公式的求法第 5 页 共 9 页(2)设 anxn1xn ,计算a1 , a2 ,a3 , 并求出数列an的通项公式。解:( 1)当 n3时 xnxn1xn22(2) a1x2x1a,a2

13、x3x2x1x2x21 (x2x1 )1 a222a 3x4x3x2x3x31 (x3x2 )1 a224由此推测 an(1)n1a(nN ) ,下面用数学归纳法证明:2 当 n=1时 ,a 1x2x1a(1)0 a公式成立2假设当 n=k 时公式成立,即 ak(1 )k 1 a 成立,那么当n=k+1 时2ak 1xk 2xk 1xk 12xkxk 11 (xk 1xk )1 ak221(1)k 1 a(1) (k 1) 1a公式仍成立222综上对任意 nN 公式都成立。6利用函数的不动点(方程的特征根)61 若数列 xn满足 xn1axn2bxnb22ba0,且是方程 xax2bxb22b

14、的最4a4a小根,则 xnxn21。例 10:已知数列xn满足 xn 12xn24xn1,x11,求数列xn的通项公式。解: 令 x 2x24 x1 ,则 x1 是其最小根,得xn1 12 xn2,由题意知 xn0 ,1两边取对数,得 log 2xn 112log 2xn11 ,两边同时加1,得:log 2 xn1112 log 2 xn11 ,故 log2 xn11 是首项为 log2x1112公比为2 的等比数列,常见数列通项公式的求法第 6 页 共 9 页所以 log 2xn112n ,故 xn22n11 。6 2 若数列xn满足 xn1axnbc0, adbc0 且 x1ax1 b 。

15、cxndcx1d6 2 1若方程 xaxb 有两个相异实根, ,则 xn1acxn。cxdxn1acxn例 11:已知数列xn满足 xn 17xn23 ,求数列xn 的通项公式。xn, x14解: 令 x7x2 ,得1,2 为其两根,所以有xn 116xn1 ,x 4xn 125xn2所以数列xn 1是以 x112为首项,以6 为公比的等比数列,xn2x125xn16n 11, 故 xn2 。所以xn26n 1252156 2 2若方程 xaxb 有两个相等实根,且 ad ,则12c1。cxdxn 1a dxn例 12:已知数列xn满足 xn 13xn1, x11 ,求数列xn的通项公式。4x

16、n72解: 令 x3x1 ,得 x1为其根,所以11114,4 x72xn 1xn522所以数列1是以111为首项,以4为公差的等差数列,5xn1x122所以11 n 14 , 故 xn9 4n。xn1528n26 3 若数列xn满足 xn 1axn2ca0,若, 是方程 xax2c 的两个相异实根,则2axnf2axf常见数列通项公式的求法第 7 页 共 9 页xn 1xn2xn 1xn例 13:已知数列xn 满足 xn 13xn22, x119 ,求数列 xn的通项公式。6xn561123x221xn 1xn,得33,解: 令 x,2 为其两根,所以2xn26x 53xn 1xn 111x

17、n两边取对数,得 log3x32log 33 ,2x 2n 1nxn1x1133所以数列 log3是以 log 31为首项,以2 为公比的等比数列,xn2x1 2xn12n 113所以 log 3 xn2n 1, 故 xn6 3。23 32 n 13相关高考: 已知函数 f ( x)x2x1,是方程 f ( x)0 的两个根 () , f ( x) 是 f ( x)的导数设 a11, an 1anf (an ) ( n1,2,L ) f(an )(1)求, 的值;(2)已知对任意的正整数n 有an,记bn lnan,L)求数列bn的前an(n 1 2n 项和 Sn 解: (1) 求根公式得15152,

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