1、高中数学竟赛试题一、选择题（本大题共10 个小题，每个小题 6 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1已知 M( x, y) yx21, x R ，N( x, y) yx2 1, xR ，则 MN（C ）A 1B 0,1C ( 0,1)D 12已知函数 yf (x) 的定义域为 1,4 ，则在同一坐标系中函数yf ( x) 的图象与直线x1的交点个数为（B ）A 0B 1C 2D 0 或 1 均有可能3若函数 yx22( x2)，则当函数值y8 时，自变量 x 的值是（ D）2x(x2)A 6B 4C6 或 4D 4 或64 f (x) 是定义在 R 上的以
2、3 为周期的偶函数， 且 f (2)0 ，则方程 f ( x)0 在区间 (0,6)内解的个数的最小值是（C）A 2B 3C 4D 55yx22x3在闭区间0, m上有最大值3，最小值2，则 m 的取值范围是（C）函数A (,2B 0,2C1,2D 1,)6已知实数 a ， b 满足 ab1，设 P11， Q1ab，则 P 、 Q 之间的1a1ba1bB ）关系为（A PQB PQC PQD无法确定7设 n 为正整数， x(11 )n ， y(11) n1，则（C）nnA x yy xB x yyxC x yy xD以上都有可能8已知 Z 为整数集，集合Ax x3, xZ ， Bx x 211
3、x 50, xZ ，Cx 2x211x103x2 , xZ ，则 ABC Z (C ) =（D）A 3B 4C 5D 3,4,59与圆 ( x a)2( yb)24(a2b2 ) ，圆 ( xa) 2( yb)24(a2b 2 ) 都相切且半径为 a2b2 的圆有（C）A 2 个B 3 个C 5 个D 7 个10n1 n2n 100的最小值是（A）设 n 为正整数，则A 2500B 4950C 5050D 5150二、填空题（本大题4 个小题，每小题6 分，共 24 分，请将正确的答案填在横线上。）11若方程 x 26x10 的两根分别为x1 、 x2 ，则 x1x22。12方程1 x12 x
4、5 的解为3 ， 8。13设 2012a32013b32014c3 ， abc0 ，且 32012a22013b22014c2 =3 20123 201332014 ，则1111。abc14已知二次函数f (x) 满足条件f (0)1 ， f ( x1)f ( x)2x ，则 f (x) 的解析式为f ( x) =x2x 1。三、解答题（本大题5 个小题，共66 分，要求解答有必要的过程）15（本小题满分12 分）已知 x12013，试求多项式 (4x38x22008 x2011)2013 的值。2解：由 x12013，得2x120132两边平方，并整理得4x24x20120 。又 4x382
5、2008x2011(x1)(4x24x2012)1 1，x所以 (4x38x22008x2011)2013(1)20131。16（本小题满分12 分）设 x0， y0 ， 3x2 y6 ，试求 xy 的最大值。解： 63x2 y26xyxy3 ( x0, y0) ，23x2 y6x13 时取等号。当且仅当3x2 y即y23所以 (xy) max。217ABC中，BC 2, AB AC 3，中线AD的长为y，AB的长为 x ，试建立y与 x的函数解析式，并求其定义域。解：依题意有 (2 AD) 2BC 22( AB2AC 2 ) ，即 (2 y)2222(x 2(3 x) 2 ) ，整理得 yx
6、23x7 。2x03x0x 满足xy1，解得 1x5。x1y22y1x故 yx27（1x53x2）。2218 ABC 的三边长分别为BC17,CA18, AB 19 ，过ABC 内的 P 点向 ABC 的三条边 BC 、CA 、 AB 分别作垂线段PD 、PE 、PF ，且 BDCEAF27 ，求 BD BF的长度。解：令 BDx,CEy, AFz，则 xy z 27x2PD 2(19z)2PF 2又 z2PF 2(18y)2PE 2y 2PE 2(17x) 2PD 2三式相加并整理，得 17 x 17 y19z487联立解得 zx1 ，所以 BDBFx 19z19( zx)18 。19给定两
7、个正整数m ， n ，若正整数 k 使得存在一个以 log 2 m ， log 2n 和 log 2 k 为边长的三角形，我们便称k 为“三角形好数” 。现知恰存在100 个三角形好数，试求mn 的最大的可能值。解：不妨设 mn ，则 log 2 mlog 2 nk log 2 m log 2 nmnkmn又恰有 100 个三角形好数，则这些数必为mn1, mn2, mn3,mn100 。mmn100所以n ，即 100 mn(11 ) 101100mn101，mn 211mn 101n11n2n 2易知 n2 时，101取最大值404 ，此时 400mn404 。13331n2故当 m67, n2 时， (mn) max134 。
