1、华北科技学院,1,2021/1/31,2.5 几种重要的向量场,华北科技学院,2,2021/1/31,向量场都是由源产生的，产生向量场的源有两类：,散度源：产生的向量场为发散场，场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源的体密度等于（或正比于）向量场在该点的散度；,旋度源：产生的向量场是涡旋场，场沿闭合回路的环量等于穿过曲面的旋度源，源的面密度等于（或正比于）向量场在该点的旋度。,华北科技学院,3,2021/1/31,华北科技学院,4,2021/1/31,散度或旋度处处为零的场是存在的.,向量场的散度及旋度反映了产生向量场的源,在有源区中，散度或旋度一定不全为零,
2、在无源区中，散度及旋度一定为零,一切向量场的源只有两种类型，即产生发散场 的散度源和产生旋涡场的旋度源,在全空间中，散度及旋度均处处为零的场是 不存在的,源是场的因，场同源一起出现。,华北科技学院,5,2021/1/31,向量场按源的分类：,（1）无旋场（有势场）,（2）无散场 （管形场，无源场）,（3）无旋、无散场（调和场）,（源在所讨论的区域之外）,（4）有散、有旋场,华北科技学院,6,2021/1/31,线单连通域：,如果对于空间区域G 内的任何一条简,单闭曲线l ，,在G 内可以作一条以l 为边的简单曲面，,这样的区域G 称为线单连通区域，,即任一闭路都可以,收缩为一点.,面单连通域：
3、,如果在一个空间区域,完全落在G的内部，,则称区域G是面单,连通区域，,即G内没有“洞”.,G 内的任意一简单闭曲面S ,其内部仍,空心球体,环面体,华北科技学院,7,2021/1/31,一、有势场,定义1,设有一向量场,若存在一个单值函数,满足,则称此向量场为有势场.,令,称v 为这个场的势函数.,显然，,由此可见：,1） 有势场是一个梯度场；,2） 有势场的势函数有无穷多个，,它们之间只相差,一个常数.,华北科技学院,8,2021/1/31,定理1,在线单连通域中向量场,为有势场的充要,条件是,为无旋场。,证：,必要性,设,如果,为有势场，,则存在函数u ，,使得,由旋度的运算基本公式,得
4、,是无旋场.,充分性,设在向量场,中有,由Stokes公式，,对于场内任何一条简单闭曲线l 都有,等价于曲线积分,与路径无关，,只与起点,和终点,有关.,华北科技学院,9,2021/1/31,如果将起点,固定，,则此曲线积分就可以看成,终点,的函数，,记作,即,华北科技学院,10,2021/1/31,所以,同理,所以,是一个有势场.,根据定理的证明可知,称函数u 为表示式,的原函数。,如果曲线积分,与l 的路径无关，,仅与l 的起,点、终点有关，,则称向量场,为保守场。,华北科技学院,11,2021/1/31,因此，,在线单连通域中，,无旋场,有势场,保守场,表示式,存在原函数.,从而给出了数
5、学上判定保守场的多种方法.,华北科技学院,12,2021/1/31,计算,的势函数v 的一种方法,如果我们按如图,所示的积分路径可得：,公式,提供了,华北科技学院,13,2021/1/31,例1 证明向量场,为有势场，,并求其势函数。,解,所以,为有势场。,华北科技学院,14,2021/1/31,势函数求法一（公式法）,所以势函数为,华北科技学院,15,2021/1/31,势函数求法二（偏积分法）,由于,即,所以,即,即,所以势函数为,华北科技学院,16,2021/1/31,如果,是保守场，,则曲线积分,与路径无关；,而对于,有,例如,华北科技学院,17,2021/1/31,二、管形场,定义2
6、,设有向量场,如果在场内恒有,则称,为管形场。,即管形场为无源场。,定理2,设管形场,所在的区域为面单连通域，,在场,内有一向量管，,假定,是它的任意两个横截面，,其,法向,都朝向量,指向,的一侧，,则,证,其法向量,华北科技学院,18,2021/1/31,指向外侧，,由于向量场所在,的区域是面单连通的，,所以在,由,所围的区域,由高斯公式知，,内,即,由于在,上，,所以,即,华北科技学院,19,2021/1/31,定理3,在面单连通域内，,向量场,是管形场当且,仅当,是另一个向量场,的旋度场。,证,充分性,如果,由旋度运算基本公式有,所以,必要性,设,令,其中,可以证明,华北科技学院,20,
7、2021/1/31,三、调和场,1、调和场的定义,定义,如果在向量场,中恒有,则称向量场,为调和场.,即调和场是既无源又无旋的向量场.,例如位于在原点处的点电荷q 所产生的电位移向量场,所以,是除原点以外的调和场。,电场强度向量场,也是除原点以外的调和场。,华北科技学院,21,2021/1/31,2 、调和函数,如果向量场,为调和场，,则其一定为无旋场，,因此存在一个函数u ，,使得,又因为,是无源场，,从而,拉普拉斯(Laplace)方程,满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。,引入数性微分算子,拉普拉斯算子.,因此拉普拉斯方程可以表示为,华北科技学院,22,2021/1/31,例3 验证向量
8、场,为调和场,并求其一个调和函数。,解,所以,为调和场.,华北科技学院,23,2021/1/31,其中一个调和函数为,例3 验证向量场,为调和场,并求其一个调和函数。,华北科技学院,24,2021/1/31,3 、平面调和场,设,为平面调和场.,首先由于,为无旋场,即,因此存在势函数v ,使得,即,势函数可以用下面公式给出,华北科技学院,25,2021/1/31,另一方面,由于,是无源场,所以,定义向量场,由于,所以,是无旋场,故存在函数u ,使得,即,称u,为调和场的力函数.,力函数可以由公式,给出.,华北科技学院,26,2021/1/31,最后由于,且,所以势函数v 是力函数u 的共轭调和
9、函数。,也表明向量,场,势函数v ，力函数u 三者知其一，,就可以求出其余,两个,力函数,与势函数,的等值线,分别称为向量场,的力线与等势线。,力线与等势线在交点处是正交的。,华北科技学院,27,2021/1/31,场论中亥姆霍兹定理的基本内容,1.一个向量场只可能有两种源旋度源和散度源，此外，再无其它类型的源。 2.若在给定边界空间中，一个向量场的旋度和散度都给定了，则该向量场的解是唯一确定的。,在电磁场中,场域边界条件,例如,华北科技学院,28,2021/1/31,据亥姆霍兹定理，任一向量场能分解为一个无旋场和一个无源场之和。,即一个向量场可表示为一个数量场的梯度和一个 向量场的旋度之和:,结论：研究一个向量场必须从它的旋度和它的散度着手， 向量场的旋度和散度满足的方程决定了向量场的基本特性。,
