1、1,第十三章 位 移 法,建筑力学,2,第十三章 位 移 法,131 等截面单跨超静定梁的杆端内力、转角位移方程,132 位移法的基本概念,133 位移法基本未知量数目的确定,134 位移法典型方程,135 用位移法计算超静定结构,位移法,3,位移法,返 回,力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立于上世纪初。,位移法以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程，求出位移后再计算内力。,力法以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力法方程，求出内力后再计算位移。,4,131等截面单跨超静定梁的杆端内力、转角位移方程,用位移法计算超静定刚架时，每根
2、杆件均视为单跨超静定梁。 计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位 移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应用方便，首先推导杆端弯矩公式。,如图所示，两端固定的等截 面梁，,A,B,L,EI,P,A,B,A,B,AB,AB,除受荷载外，两支座还发生位移：转角 A、 B及侧移AB 。,转角A、 B顺时针为正， AB则以整个杆件顺时针方向转动为正。,在位移法中，弯矩的符号规定如下：弯矩是以对杆端顺时针为正(对结点或对支座以逆时针为正)杆端剪力符号规定与原来相同。,图中所示均为正值,MAB,A,MBA,B,返 回,位 移 法,QAB,QBA,5,A,B,L,E
3、I,P,A,B,A,B,AB,AB,用力法解此问题，选取基本结构如图。,P,t1,t2,X1,X2,X3,多余未知力为X1、X2。,力法典型方程为,11X1+12X2+ 1P+ 1=A 21X1+22X2+ 2P+2=B,为计算系数和自由项，作,、,、MP图。,图,1,图,1,MP图,XA,XB,由图乘法算出：,，,，,AB,AB,由图知,这里，AB称为弦转角，顺时针为 正。,位 移 法,返 回,6,将以上系数和自由项代入典型方程，可解得,X1=,X2=,令,称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用,MBA代替X2，上式可写成,MAB= 4iA+2i B,MBA= 4i B +2i A,(
4、131）,是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆端弯矩，称为固端弯矩。,位 移 法,返 回,杆端弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出。（略）,式(131）是两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常 称为转角位移方程。,形常数示例（两端固定梁）,（线刚度）,（续）, 载常数示例（两端固定梁）,（续）,132 位移法的基本概念,一、解题思路,q,C,l,l,B,B,B,A,(a),原结构：,C,B,B,B,A,C,B,B,B,A,C,B,A,(d),(c),(b),基本体系：,Z,1,=,B,Z,1,=,B,q,q,R,R,11,R,1P,实现位移状态可分两步完成： 1）在可动结
5、点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力； 2）在附加约束上施加外力，使结构发生与原结构一致的结点位移。 对比约束结构与原结构可发现，附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。,12,2,、解题示例,q,C,l,l,B,B,B,A,原结构,解：,位移法方程,13,14,建立位移法方程的另一作法 由原结构取隔离体直接建立平衡方程,15,位移法,返 回,根据转角位移方程：,根据结点B的力矩平衡条件：,将杆端弯矩代入上式的：,所以：,另一种解题思路：直接由平衡条件建立位移法基本方程,16,位移法,返 回,再将Z1代回杆端弯矩的表达式：,17,位移法,返 回,无结点线位
6、移刚架,1,2,3,EI=常数,P,刚架在荷载P作用下将发生如虚 线所示的变形。,Z1,Z1,在刚结点1处发生转,角Z1，结点没有线位移。则12杆可 以视为一根两端固定的梁（见图）。,1,P,Z1,2,13杆可以视为一根一端固定另一端 铰支的梁（见图）。,1,3,Z1,可见，在计算刚架时，如果以 Z1为基本未知量，设法首先求出Z1， 则各杆的内力即可求出。这就是 位移法的基本思路。,Z1,18,位移法,返 回,有结点线位移刚架,一般情况下，刚架若干接点可能同时发生转角和线位移。如图所示刚架C、D两刚结点除分别发生转角Z1、Z2外，还会产生同一水平线位移Z3，只有同时求出这三个未知量，才能确定全
7、部杆端弯矩和剪力。,结点角位移仍列结点弯矩平衡方程：,结点线位移列有线位移的结构部分的力的投影平衡方程：,19,用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静 定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根 单跨超静定梁。通常的做法是， 在每个刚结点上假想地加上一个 附加刚臂(仅阻止刚结点转动),同 时在有线位移的结点上加上附加 支座链杆(阻止结点移动)。,1,2,3,4,5,6,例如 ( 见图a),(a),又例如(见图b),(b),2,3,4,5,6,7,共有四个刚结点，结点线位移 数目为二，基本未知量为六个。 基本结构如图所示。,1,基本未知量三个。,位 移 法,返 回
8、,20,以图(a)所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立基本机构以及求解基本未知量。,P,L,1,2,3,4,EI=常数,基本未知量为:Z1、Z2 。,Z1,Z2,基本结构如图(b)所示。,(a),(b)基本结构,1,2,3,4,=,Z1,Z2,R1,=0,=0,P,R1附加刚臂上的反力矩,R2附加链杆上的反力,据叠加原理,=,Z1,R21,1,2,3,4,1,3,4,P,R2P,1,2,2,3,4,则有,R1=R11+R12+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=0,R22,R2,R12,R11,R1P,Z2,位 移 法,返 回,21,R1=R11+R12+R1P=0 R2=R21+R22
9、+R2P=0,式中第一个下标表示该反力的位置， 第二个下标表示引起该反力的原因。,设以 r11、r12分别表示由单位位移,所引起的刚臂上的反,力矩， 以 r21、r22分别表示由单位位移,所引起的链杆,上的反力，则上式可写成,r11Z1+ r12Z2+R1P=0 r21Z1+ r22Z2+R2P=0,(135),这就是求解Z1、Z2的方程，即 位移法典型方程。 它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移的共同作用 下，每一个附加联系中的附加反力矩或反力都应等于零(静力平衡条 件)。,对于具有 n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n 个方程：,r11Z1+ + r1iZi+ + r1nZ
10、n+R1P=0 ri 1Z1+ + ri iZi+ + ri nZn+Ri P=0 rn1Z1+ + rniZi+ + rnnZn+RnP=0,(137）,位 移 法,返 回,22,r11Z1+ + r1iZi+ + r1nZn+R1P=0 ri 1Z1+ + ri iZi+ + ri nZn+Ri P=0 rn1Z1+ + rniZi+ + rnnZn+RnP=0,(137）,在上述典型方程中，rii 称为主系数，rij(ij) 称为副系 数。RiP称为自由项。主系数恒为正，副系数和自由项可 能为正、负或零。据反力互等定理，副系数 rij=rji (ij)。,在位移法典型方程中，每个系数都是
11、单位位移所引起的附加联系的反力(或反力矩)。,位 移 法,返 回,23,以及载荷作用下的弯矩图,计算典型方程中的系数和自由项，基本结构在,和MP图：,1,3,4,2,1,3,4,2,1,3,4,2,4i,2i,3i,P,MP图,系数和自由项可分为两类：附加刚臂上的反力矩 r11、r12、和 R 1P；,是附加链杆上的反力 r21、r22和R2P。,r21,r22,R2P,(a),(b),(c),可分别在图(a)、(b)、(c),中取结点1为隔离体，,4i,由力矩平衡方程M1=0求得：r11=7i ,R1P=,。,r11=7i ,R1P=,，,对于附加链杆上的反力，可分别在图(a)、(b)、(c
12、）中用截面法割断 两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表131查出杆端 剪力，,1,2,1,2,1,2,0,0,由方程X=0求得,r21=,R2P=P/2,r21,r22,R2P,R 1P,r12,r11,位 移 法,返 回,24,将系数和自由项代入典型方程(135)有,解此方程得,所得均为正值，说明Z 1、Z2与所设 方向相同。,最后弯矩图由叠加法绘制：,例如杆端弯矩M31为,M图,1,2,3,4,P,M图绘出后，Q 、N图即可由平衡条件绘出(略）。,位 移 法,返 回,25,直接由平衡条件建立位移法基本方程,用位移法计算超静定刚架时，需加入附加刚臂和链杆以取得 基本结构，由附加刚臂和
13、链杆上的总反力矩(或反力)等于零的条件， 建立位移法的基本方程。,我们也可以不通过基本结构，直 接由平衡条件建立位移法基本方程。,举例说明如下：,1,2,3,4,P,L,i,i,i,取结点1，由M1=0 及截取两柱顶端以上横梁部分， 由X=0 (见图)得：,M12,M13,1,1,2,Q24,Q13,由转角位移方程及表101得,将以上四式代入式(a)、(b)得,所建立的典型方程完全一样，可见，两种方法本质相同，只是处理方法上不同。,位 移 法,返 回,26,结 论,由上所述，位移法的计算步骤归纳如下：,(1) 确定结构的基本未知量的数目(独立的结点角位移和线位移)，并引入附加联系而得到基本结构
14、。 (2) 令各附加联系发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。 (3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。 (4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。 (5) 按叠加法绘制最后弯矩图。,位 移 法,返 回,27,位移法,返 回,超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然 后让基本体系在受力方面和变形方面与原 结构完全一样。,力法的特点： 基本未知量多余未知力； 基本体系静定结构； 基本方程位移条件 （变
15、形协调条件）,位移法的特点： 基本未知量 基本体系 基本方程,独立结点位移,平衡条件,？,一组单跨超静定梁,28,返 回,例：试用力法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。,解：将梁中间改为铰接，加多余未知力X1得基本体系如图（B）所示。,建立力法典型方程：,求系数和自由项：,代入典型方程得：,最后弯矩：,位移法,用力法求解超静定结构,29,位移法,返 回,用位移法求解超静定结构,例：试用位移法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。,解：基本未知量分别为刚结点B点的角位移Z1，基本体系如图（B）所示。,用转角位移方程写出个杆端内力如下（其中 ）,从原结构中取出图c隔离体。,由图c的平衡条件：,30,总
16、 结,力法是在原结构中解除多余约束得到基本结构; 位移法是在原结构上加约束于阻止结点的全部独立角位移与线位移,从而得到基本结构.一个是减少约束得到静定结构; 一个是增加约束,得到超静定次数更高的结构。这是两者的根本区别。,对于同一结构,力法可以选择不同的基本结构,而位移法只有唯一的一种基本结构.,对于超静定次数高而结点位移数目少的超静定结构,用位移法比力法要简便得多;相反,如果结点位移数目多,而超静定次数少的结构,则用力法要简便些。,31,133 位移法基本未知量数目的确定,在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。,(1) 独立角位移数目的
17、确定,由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。,1.位移法的基本未知量,这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。,例如图示刚架：,1,2,3,4,5,6,独立结点角位移数目为2。,位 移 法,返 回,32,(2)独立线位移数目的确定,在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。 但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于 是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就 相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一 个独立线位移(侧移)。例如(见图a）,1,2,3,4,5,6,4、5、6 三个固定
18、 端 都是不动的点，结点1、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长度不变，故三个结点均有相同的水平位移 。,P,(a),事实上，图(a)所示结构的独立线位 移数目，与图(b)所示铰结体系的线 位移数目是相同的。因此，实用上 为了能简捷地确定出结构的独立线 位移数目，可以,(b),将结构的刚结点(包括固定支 座)都变成铰结点(成为铰结体系), 则使其成为几何不变添加的最少 链杆数，即为原结构的独立线位 移数目(见图b)。,位 移 法,返 回,33,位移法,返 回,线位移举例：,图a刚架改为铰结体系后，只需增设两根附加链杆就能变成几何不变体系（图b所示），故有两个角位移。,34,1,4,0,线位移举
19、例：,35,1,2,3,4,5,6,例如 ：图a,(a),(b),2,3,4,5,6,7,图b共有四个刚结点，结点线位移数目为二，基本未知量为六个。基本结构如图所示。,1,基本未知量三个。基本结构如图所示。,位 移 法,返 回,（3）位移法基本未知量的确定,位移法基本未知量数目应等于结构结点的独立角位移和线位移二者之和。,36,横梁刚度无穷大的刚架结构,图示刚架因横梁刚度无穷大而不发生弯曲变形，只发生刚性平移，柱子则发生弯曲变形。所以用位移法计算时，结构只有水平线位移而无结点角位移，故结构只有一个基本未知量。,P,EI ,基本结构,EI ,37,位移法,返 回,排架结构,图（a）所示排架，将其
20、变成铰结体系后图（图b） ，需增加两根附加链杆的约束，才能成为几何不变体系，故有两个线位移。,结点3是一 组合结点,确定角位移时，要注意结点3是一个组合结点，,杆件2B应视为23和3B两杆在3处刚性联结而成，故结点3处有一转角，该排架的位移法基本未知量共有3个。,习题 131,例. 求作刚架的M图,解：(1) 基本未知量： 1（C)、2 (2) 写各杆端弯矩： 令iCA=EI/4= i，则iCD = 2i,135 用位移法计算超静定结构,(3)建立位移法方程 取结点C为隔离体, 截取含有2的柱顶以上的横梁为隔离体,其中，分别取柱AC和BD为隔离体，则由,代入得,即 (2),(1)、(2)即为位
21、移法方程 ，联立解得 1 = 3.16/i , 2 = 21.05/i,将1、2代入转角位移方程，可得各杆端弯矩：,据此作出M图。,M图（kNm）,42,例 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a 及转角=a/L，试绘其弯矩图。,A,B,C,EI,2EI,L,L,A,a,解：,基本未知量 Z 1(结点C转角)；,Z 1,基本结构如图示；,A,B,C,Z 1,基本结构,建立位移法典型方程：,r11Z1+R1=0,为计算系数和自由项，作,和M图(设EI/L=i),A,B,C,Z 1=1,b,8i,4i,3i,A,B,C,M图,基本结构由于支座位移产 生的固端弯矩(由表131)查得,20
22、i,16i,12i,8i,3i,由,求得,r11=8i+3i=11i,由M图求得,12i,16i,R1=16i+12i=28i,R1,r11,R1,位 移 法,返 回,43,将上述系数和自由项代入典型方程，,便有,11iZ1+28i=0,解得,Z1=,刚架的最后弯矩图为,A,B,C,A,B,C,Z 1=1,8i,4i,3i,A,B,C,M图,20i,16i,12i,例如：,MAC= 4i,+20i,=,M图,R1,位 移 法,返 回,44,例 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。,A,B,C,D,1、写出杆端力的表达式 ：,45,2、根据平衡条件列位移法方程 ：,解方程，求得,B,MBC,MBA,C,MCD,MCB,46,3、将求得的Z1、Z2代回杆端力表达式，绘弯矩图,47,例 用位移法计算图(a)所示刚架，并作刚架的弯矩图。已知，L=6m，q=4kN/m。,(a)原结构,(b)基本体系,48,分解基本体系为各因素单独作用在基本结构上,(d),(c),k11z1+F1P=0,49,(e),50,解方程，得：,利用叠加法得刚架最后弯矩图，即：,（按图(c)受拉侧不变）,（右侧受拉）,（左侧受拉）,
