1、名校名 推荐微专题四常见 “ 隐形圆 ” 问题一、利用圆的定义确定隐形圆例 1 (1)如果圆 (x 2a)2 (y a 3)2 4 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 _答案 6， 05解析到原点距离为1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，故此单位圆和已知圆相交， 2 12a 2 a 3 22 1， 15a2 6a99 ，6解得 5a0) ，若圆上存在点P，使得 APB 90，则 m 的取值范围是_答案4,6解析 P 在以 AB 为直径的圆上(P 异于 A， B)， 以 AB 为直径的圆和 C 有公共点， m 1 5 m 1， 4 m6.(2)(2019 江苏省徐州市第一中
2、学月考)若实数 a，b，c 成等差数列且点P( 1,0)在动直线axby c0 上的射影为M，点 N(3,3)，则线段MN 长度的最大值是_答案52解析因为 a，b， c 成等差数列，所以 2b a c，即 0 a 2b c，方程 ax by c0 恒过点 Q(1， 2) ，又因为点 P( 1,0)在动直线 ax by c 0 上的射影为 M，所以 PMQ 90， M 在以 PQ 为直径的圆上，此圆的圆心 A 的坐标为 1 1， 2 0 ，221即 A(0， 1)，半径 r 2PQ2，又因为 N(3,3)，所以 AN 5，所以 (MN) max 52.跟踪训练2 (2018 江苏省通州区检测)
3、设 m R，直线 l 1： xmy 0 与直线 l2：mx y2m 4 0 交于点 P( x0， y0)，则 x02 y20 2x0 的取值范围是 _答案12 410， 12410解析l 1 过定点 O(0,0)， l 2 过定点 A(2， 4)，则 P 在以 OA 为直径的圆上 (P 异于 O， A) ，又 x20 y20 2x0 (x0 1)2 y20 1，2名校名 推荐又 tx0 1 2 y20表示点 ( 1,0)到圆 (x 1)2 (y 2)2 5 上的点的距离， tmax 225， tmin 225， (x20 y20 2x0) max (2 2 5)2 112 4 10，(x02
4、y02 2x0)min (225)2 1 12410，故所求范围是 12 410， 12 4 10 三、 A， B 是两定点，动点 P 满足 PAPB (常数 )确定隐形圆例 3(2018 南通考试 )已知点 A(2,3)，点 B(6， 3)，点 P 在直线 3x 4y 3 0 上，若满足等 的取值范围是 _式 APBP2 0 的点 P 有两个，则实数答案2解析设 P(x， y)，则 AP( x 2， y 3)， BP (x 6， y 3)，根据 AP BP 2 0，有 (x 4)2 y2 13213 . 22213由题意知，圆(x 4) y 13 2 2与直线 3x 4y 30 相交，圆心到
5、直线的距离d |3 4 40 3| 313 2，所以 2.3242跟踪训练3 已知线段 AB 的长为 2，动点 C 满足 CACB (为常数 )，且点 C 总不在以点 B为圆心，1为半径的圆内，则负数 的取值范围是 _23答案 1，解析设 A( 1,0)，B(1,0)， C(x，y) ，2 x2 y2 1 .0， 1)确定隐形圆 (阿波罗尼斯圆 )PB例 4 (2019 江苏省海安高级中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，点 A(1,0)，B(4,0)，若在圆 C：(x a)2 (y 2a)2 9 上存在点 P 使得 PA1PB，则实数 a 的取值范围是 _23名校名 推荐答案 5，5 5，
6、555解析设 P(x， y)，则 PAx 1 2 y2， PB x4 2 y2，1221(x 4)22 PA PB， (x1) y y ，24整理得 x2 y2 4，P 的轨迹是以 O(0,0)为圆心，以 2 为半径的圆，又 P 在圆 C 上， 圆 C 与圆 O 有公共点， 1CO 5，即 1 a2 4a2 5，解得 a 5，5 5， 5 .55跟踪训练 4 (2019 江苏省启东中学考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 O：x2 y2 1，O1：(x 4)2 y2 4，动点 P 在直线 x3y b0 上，过 P 点分别作圆 O，O1 的切线，切点分别为 A， B，若满足 PB 2PA 的点 P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是 _答案 20， 43解析由题意知 O(0,0)， O1(4,0)设 P( x，y)， PB 2PA， x 4 2 y2 4 2x2 y2 1， (x 4)2 y2 4(x2 y2)， x2 y2 8x16 0，3348圆心坐标为3， 0，半径为 3， 动点 P 在直线 x3y b0 上，满足 PB 2PA 的点 P 有且只有两个， 直线与圆22816 0 相交，x y x334 圆心到直线的距离d3 b8，1 33 4 16b4 16，333320即实数 b 的取值范围是 3， 4 .4
