1、名校名 推荐第四节数系的扩充与复数的引入 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件 .2.了解复数的代数表示法及其几何意义 .3.能进行复数代数形式的四则运算， 了解两个具体复数相加、减的几何意义(对应学生用书第77 页)基础知识填充 1复数的有关概念(1)复数的概念：形如a bi(a，bR)的数叫复数，其中a，b 分别是它的实部和虚部若b 0，则 abi 为实数，若 b0，则 a bi 为虚数，若 a0 且 b0，则 a bi 为纯虚数(2)复数相等： abi cdi? a c， b d(a， b， c， dR)(3)共轭复数： abi 与 cdi 共轭 ? a
2、c，b d(a， b， c，dR)(4) 复数的模：向量 OZ的模 r 叫作复数zabi 的模，即 |z| |abi|a2 b2.2复数的几何意义一一对应一一对应复数 z a bi 复平面内的点 Z(a，b) 平面向量 OZ (a，b)3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1 a bi ，z2cdi(a， b， c， dR)，则加法： z1z2 (abi) (cdi) (a c) (bd)i ；减法： z1z2 (abi) (cdi) (a c) (bd)i ；乘法： z12(abi) (cdi)(acbd)(adbc)i；z除法：z1a biabi cdiacbd bcadzc
3、di 22 22 i(cdi 0)cdi cdic dc d2(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2， z3C，有 z1z2z21名校名 推荐z1， (z1z2)z3z1(z2z3)基本能力自测 1(思考辨析 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)方程 x2x10 没有解 ()(2)复数 z abi(a，bR)中，虚部为 bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小 ()(4)在复平面内，原点是实轴与虚轴的交点 ()(5) 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 () 答案 (1)(2)(
4、3)(4)(5)2. (教材改编 )如图 4-4-1，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是 ()图 4-4-1AABBCCDDB 共轭复数对应的点关于实轴对称 3(2017 全国卷 )复平面内表示复数zi( 2i) 的点位于 ()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限C zi( 2i) 1 2i，复数 z 1 2i 所对应的复平面内的点为Z( 1， 2)，位于第三象限故选 C3i4(2017 全国卷 )1i ()A12iB12iC2iD2iD 3i3i1i33i i1 22i.1i1 i1i2名校名 推荐故选 D5设 i 是虚数单位，若复数 (2 ai)i 的实
5、部与虚部互为相反数，则实数a 的值为_2 因为 (2 ai)i a2i，又其实部与虚部互为相反数，所以a 2 0，即 a2.(对应学生用书第77 页)复数的有关概念1i(1)(2018 合肥一检 )设 i 为虚数单位，复数z3i的虚部是 ()11A5B 5C1D 1(2)(2017 全国卷 )设有下面四个命题：1p1：若复数 z 满足 zR，则 z R；p2：若复数 z 满足 z2 R，则 zR；p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2R，则 z1 z 2；p4：若复数 zR，则 z R.其中的真命题为 ()A1， p31，p4pBpC 2， p32， p4pDp1i 3i42i211(1)B
6、(2)B (1) 复数 z 3i 3i 1055i ，则 z 的虚部为5，故选 B(2)设 zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2 a2 b2i(a2，b2 R)11abi对于 p1，若 z R，即bi 2b2 R，则 b 0? z a bi a R，所以aap1 为真命题3名校名 推荐对于 p2，若 z2R，即 (abi) 2a2 2abib2R，则 ab0.当 a 0，b0 时， zabibi?R，所以 p2 为假命题对于 p3，若 z1z2R，即 (a1 b1i)(a2b2i) (a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i R，则 a1b2 a2b10.而 z1 z 2
7、，即 a1 b1i a2b2i ? a1 a2 ，b1 b2.因为 a1b2a2b10?/ a1a2， b1 b2，所以 p3 为假命题对于 p4，若 z R，即 a bi R，则 b 0?z abi a R，所以 p4 为真命题故选 B规律方法 与复数概念相关问题的求解方法1 复数的概念问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程不等式 组即可 .2 解决复数模的问题可以根据模的性质把积、商的模转化为模的积、商.易错警示： 解题时一定要先看复数是否为abi a，bR 的形式，以确定实部和虚部 .跟踪训练(1)(2016全国卷 若 ，则4
8、i ()z 12iz z 1A1B 1CiD iai(2)(2018 长沙模拟 (二)已知 a 是实数， 2i 是纯虚数，则 a ()11A2B 2C1D 1(1)C (2)A(1) 因为 z 1 2i，则 z 12i，所以 z z (1 2i)(1 2i)5，则4i4ii. 故选 Cz z 14(2)复数aiai 2 i2a1 a22a1且a25 55 i 是纯虚数，则5 052i10，解得 a2，故选 A 4名校名 推荐复数的几何意义1(1)(2018 石家庄质检 (二 )在复平面中，复数1i 21对应的点在 ()【导学号 ：79140161】A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)
9、(2016 全国卷 )已知 z(m 3)(m 1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是 ()A(3,1)B(1,3)C(1， )D(， 3)12112i12(1)D (2)A(1) 复数 55i ，其在复平面12i1 i1 2i12i 112，位于第四象限，故选 D内对应的点为5，5m30，即 3m 1.故实数 m 的取值范围为 ( 3,1)(2)由题意知m10， 规律方法 对复数几何意义的理解及应用, 1 复数 z、复平面上的点 Z 及向量 OZ相互联系，即z abi a，b R ? Z a， b ? OZ., 2 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系， 因此可把复
10、数、 向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. 跟踪训练 (1)若复数 z(a1)3i(a R)在复平面内对应的点在直线yx2上，则 a 的值等于 ()A1B2C5D 6(2)设复数1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则 z1 2zz()A 5B5C 4iD 4i(1)B(2)A(1) 复数 z(a1)3i在复平面内对应的点 (a1,3)在直线 yx 2 上， 3a12，a2，故选 B5名校名 推荐(2)z12i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又 z1 与 z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2 的对应点的坐标为 (2,1)即
11、z2 2 i， z1z2(2i)( 2i) i 2 4 5.复数的代数运算(1)(2018 广州综合测试 (二)若复数 z 满足 (34iz)i 2i，则 z()A46iB42iC 42iD26i(2)(2018石家庄一模若z是复数， 1 2i，则 zz ()z1i105A 2B 25C1D22 ii2i(1)D (2)D (1) 由题意得34i zii2 12i，所以 z26i，故选 D12i12i 1i1 31 3(2)因为 z 22i，所以 z 22i，所以 zz 1i1i 1 i1313522i22i2，故选 D 规律方法 复数代数运算问题的求解方法1 复数的加法、减法、乘法运算可以类
12、比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式 .2 记住以下结论，可提高运算速度 1i 22i；1i i； 1 i i； b ai i a bi ； i4n1；i4n 1 i；1i1 ii 4n2 1； i4n 3 i n N . 跟踪训练 (1)已知 i 是虚数单位，1i 822 0181i1i _.【导学号 ：79140162】6名校名 推荐a(2)已知 a，bR，i 是虚数单位，若(1i)(1 bi) a，则b的值为 _1i 82 2 1 009(1)1 i (2)2(1) 原式 1i1i21 009i8 i1 009i 8 2i1i 4 252 11i.(2)(1i)(1 bi) 1b(1 b)i a，又 a，bR，a1ba 且 1 b 0，得 a2，b1，b2.7
