1、名校名 推荐第四节 二次函数与幂函数考纲传真 (教师用书独具 )1.(1)了解幂函数的概念； (2)结合函数 yx，yx2，13，yx2，y1的图象，了解它们的变化情况 .2.理解二次函数的图象和性质，yxx能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题(对应学生用书第13 页) 基础知识填充 1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式： f(x) ax2 bxc(a0)；顶点式： f(x) a(x h)2k(a0)，顶点坐标为 (h， k)；零点式：f(x) 1 2 0)， 1，x2 为 f(x)的零点a(x x )(x x )(ax(2)二次函数的图象与性质函数y ax2 bxc(a
2、0)y ax2 bxc(a0)图象定义域R值域4ac b2，4acb24a，4abb单调性在 ，2a上减，在 ，2a 上增，在 b在 b ， 上增上减2a2a对称性b函数的图象关于 x 2a对称2. 幂函数(1)定义：形如 y x (R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量， 是常数(2)五种常见幂函数的图象与性质函数yxyx2yx31yx1特征yx2性质1名校名 推荐图象定义域RRR x|x0 x|x0值域Ry|y0R y|y0 y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(， 0)减，增增(， 0)和(0， )增(0， )减公共点(1,1) 知识拓展 1一元二次不等式恒成立的条件a 0，(1)ax
3、2 bxc0(a0)恒成立的充要条件是0.2a 0，(2)ax bxc0(a0)恒成立的充要条件是f a 0，(3)ax2 bxc0(a0)在区间 a， b 恒成立的充要条件是f b 0.f a 0，(4)ax2 bxc0(a0)在区间 a， b 恒成立的充要条件是f b 0.2幂函数 yx (R)的图象特征(1) 0 时，图象过原点和 (1,1)，在第一象限的图象上升(2) 0 时，图象不过原点，在第一象限的图象下降基本能力自测 1(思考辨析 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)2)(1)二次函数 yax bx c， x R，不可能是偶函数 (2)二次函数 yax2bx c，
4、x a，b的最值一定是 4acb2.()4a(3)幂函数的图象一定经过点 (1,1)和点 (0,0) ()(4)当 n0 时，幂函数 yxn 在 (0， )上是增函数 () 答案 (1) (2)(3) (4)教材改编已知幂函数f(x)x的图象过点 (4,2)，若 f(m)3，则实数 m 的值2 ()为 ()2名校名 推荐A3B 3C 9D921D 由题意可知 4 22，所以 2.1所以 f(x)x2x，故 f(m) m 3? m9.已知函数2x5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是 ()3f(x)axA0，1B ，12020C1 ，D 1 ，02020a 0，a 0，1C 由题意知0，
5、即1 20a0， 得 a20.4(2017 贵阳适应性考试 (二 )二次函数 f(x)2x2bx 3(bR)零点的个数是()A0B1C2D4C 因为判别式 b2240，所以原二次函数有 2 个零点，故选 C5若二次函数 yax2bx c 的图象与 x 轴交于 A(2,0)，B(4,0)且函数的最大值为 9，则这个二次函数的表达式是 _y x2 2x8 设 ya(x2)(x 4)，对称轴为 x 1，当 x 1 时， ymax 9a 9， a 1， y (x2)(x4) x2 2x8.(对应学生用书第14 页 )求二次函数的解析式已知二次函数 f(x)满足 f(2) 1，f(1) 1，且 f(x)
6、的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式解法一 (利用一般式 )：设 f(x)ax2bxc(a0)3名校名 推荐由题意得4a2bc 1，a b c 1，24acb 8，a 4，解得b4，所求二次函数为f(x) 4x24x 7.c7.法二 (利用顶点式 )：设 f(x)a(xm)2n. f(2)f(1)，2 11抛物线的图象的对称轴为x2 2.1m2.又根据题意函数有最大值8， n8.1 2y f(x)a x8.1 2f(2) 1， a 22 8 1，解得 a 4，f(x) 4 128 4x2 4x7.x2法三 (利用零点式 )：由已知 f(x)10 的两根为 x12， x2 1，故可设 f(x
7、)1a(x2)(x1)，即 f(x)ax2ax2a 1.4a 2a1 a 2又函数的最大值是 8，即4a8，解得 a 4，所求函数的解析式为 f(x) 4x24x7.规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下：4名校名 推荐 变式训练 1 已知二次函数 f(x)的图象经过点 (4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为2，并且对任意 xR，都有 f(2x) f(2x)，求 f(x)的解析式解f(2x)f(2x)对 xR 恒成立， f(x)的对称轴为 x 2.又 f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为2， f(x)0 的两根为 1 和 3.设 f(x)的解
8、析式为 f(x) a(x1)(x3)(a0)又 f(x)的图象过点 (4,3)，3a 3， a 1.所求 f(x)的解析式为 f(x) (x1)(x3)，即 f(x)x2 4x3.二次函数的图象与性质角度 1二次函数的最值问题(1)(2017 广西一模 )若 xlog52 1，则函数 f(x) 4x2x 13 的最小值为 ()A 4B 3C 1D0(2)(2017 安徽皖北第一次联考 )已知函数f(x) x22ax 1 a 在区间 0,1 上的最大值为 2，则 a 的值为 ()A2B 1 或 3C2 或 3D 1 或 255x log5 1? 2x1，(1)A (2)D (1)xlog 21?
9、log 255令 t2x t15 ，则有 yt2 2t3(t1)24，1当 t15，即 x 0 时， f(x)取得最小值 4.故选 A (2)函数 f(x) (xa)2 a2a1 图象的对称轴为xa，且开口向下， 分三种情况讨论如下：当 a 0 时，函数 f(x) x22ax1a 在区间 0,1上是减函数，f(x)max f(0) 1 a，由 1a2，得 a 1.5名校名 推荐当 0 a1 时，函数 f(x) x22ax1a 在区间 0 ，a上是增函数，在a,1上是减函数， f(x)max f(a) a22a2 1aa2a 1，由 a2 a 1 2，解得 a15或 a 15 ，两个值都不满足，
10、22. 0 a 1舍去当 a 1 时，函数 f(x) x22ax1a 在区间 0,1上是增函数， f(x)max f(1) 12a 1 a 2， a 2.综上可知， a 1 或 a2.角度 2二次函数中的恒成立问题(1)已知函数 f(x) x2mx1，若对于任意 xm，m 1，都有 f(x)0成立，则实数m 的取值范围是 _. 【导学号： 79170025】(2)已知 a 是实数，函数 f(x)2ax22x 3 在 x 1,1上恒小于零，则实数 a 的取值范围为 _21(1) 2，0(2) ，2(1) 作出二次函数 f(x)的图象，对于任意 xm，m1 ，都有 f(x)0，f m 0，则有f
11、m1 0，m2m2 10，解得2m0.即21m m 1 10，2m(2)由题意知 2ax22x30 在 1,1上恒成立 当 x0 时，适合；3 1121当 x0 时， a 2 x36.111因为 x(， 11， )，当 x 1 时，右边取最小值2，所以 a2.综上，实数 a 的取值范围是，1.2规律方法 1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴 ”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点， 一轴指的是对称轴， 结合配方法， 用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成6名校名 推荐2由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是 af(x)? af(x)max，a f(x
12、)? af(x)min.幂函数的图象与性质(1)(2018 兰州模拟 )已知幂函数 f(x)kx的图象过点12， 22 ，则 k等于 ()1A2B13C2D2若2m 1)，则实数 m 的取值范围是 ()(2)(2m 1)(mA ， 5 1B5 1，22C( 1,2)D5 1， 2212(1)C(2)D(1) 由幂函数的定义知 k1.又 f 2 2 ，1 213所以 2 2，解得 2，从而 k2.(2)因为函数 y x的定义域为 0， )，且在定义域内为增函数，2m10，2所以不等式等价于m m10，1解 2m10，得 m 2；解 m2m10，得 m 51或 m25 1；2解 2m1m2m1，得
13、 1 m2，51综上所述， m 的取值范围是m2.规律方法 1.幂函数的形式是y x (R )，其中只有一个参数 ，因此只需一个条件即可确定其解析式7名校名 推荐2在区间 (0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为 “ 指大图低”)，在区间 (1， )上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴 变式训练 2(1)设 a0.5，b0.9，clog50.3，则 a，b，c 的大小关系是 ()Aa c bBcabCa b cDbac若 (32a)，则实数 a 的取值范围是 _(2)(a 1)(1)D(2) 1， 2(1)a0.50.25， 0.9，所以根据幂函数的性质知3bb a 0，而 clog50.30，所以 baC(2)易知函数y x的定义域为 0 ， ) ，在定义域内为增函数，所以a 1 0，23 2a0，解得 1a3.a 1 32a，8
