1、根与系数的关系知识精讲一韦达定理如果 ax2bxc0(a0) 的两根是0 ）特别地，当一元二次方程的二次项系数为则 x1x2p ， x1x2q 二韦达定理与根的符号关系x1 ， x2 ，则 x1 x2b ， x1x2c （隐含的条件：aa2q 0 的两个根，1时，设 x1 ， x2 是方程 x px在2的条件下，若 x1， x2 是 ax2bxc0( a 0) 的两根（其中x1 x2 ）b 4ac 0我们有如下结论：c0x1 x20 ，若b0 ，则 x1x2 ；若b0 ，则 x1x2 1aaa2 c0x1 x20 若b0 ，则 x1x20 ；若b0 ，则 x2x1 0 aaa更一般的结论是：若
2、 x1 ， x2 是 ax2bxc0( a0)的两根（其中x1x2），且 m 为实数，当0 时，一般地：（ 1） (x1m)( x2m)0x1m ， x2m（ 2） (x1m)( x2m)0 且 ( x1m)( x2 m)0x1m ， x2m（ 3）m)(x2m)0 且 (x1m)( x2m)0x1m ，x2 m( x1特殊地：当 m 0 时，上述就转化为ax 2bxc0( a0)有两异根、两正根、两负根的条件三点剖析一 考点 ：韦达定理二 重难点 ：韦达定理的应用1已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；2已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；3已知方程的两根，求作方程；4结合根
3、的判别式，讨论根的符号特征；5逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理三 易错点 ：在使用韦达定理的时候没有提前检验0 是否成立题模精讲题模一：韦达定理例4.1.1若 方 程 x24 xc0 的 一 个 根 为 23 ， 则 方 程 的 另 一 个 根 为 _ ，c _ 第 1页【答案】23 ， c1【 解 析 】根 据 韦 达 定 理 ， x1x24 ， 因 为 x123 ， 所 以 x223 ， 所 以c x1 x223231例 4.1.2如果 a ，b 都是质数， 且213a， 213bm0，求 ba的值am
4、bab【答案】当 ab 时， ba2；当 ab 时， ba125abab22【解析】当 ab 时， ba2 ；ab当 ab 时， a 、 b 为方程 x213xm0 的两个根，所以ab 13 ，则 a2 ， b11或 b2 ， a 11 所以 ba211 125 ab11222例 4.1.3设x1、 x2是 方 程 x22k1xk22 0的 两 个 不 同 的 实 根 ， 且x1 1 x218 ，则 k 的值是【答案】k 1【解析】由根与系数的关系得1 且有4 k 14 k 22 8k 4 0 ，即 k22所以 x11x218 从而 k22k3 0 ，解之得 k3 或 k1 又 k1，所以 k
5、12例 4.1.4已知关于 x 的方程 x211xa300 的两根都大于5，求 a 的取值范围【答案】0a 14【解析】设 x1 ， x2 是方程的两根，( x15)( x2 5) x1 x25( x1x2 ) 25 0x1 x2a30，解得 0 a 1 x1x21141214a120 0随堂练习随练4.1已知 m ， n 是有理数，并且方程x2mxn0 有一个根是52 ，那么m n _【答案】 3第 2页【解析】由于 m ， n 是有理数，并且方程x2mxn0 有一个根是52，所以方程的另一个根是52由韦达定理知：m(52)(52) ， n(52)( 52)随练 4.2已知关于 x 的方程
6、x22(m2) xm250 有两个实数根， 并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求 m 的值【答案】-1【解析】有实数根，则 0，且 x12x22x1 x216 ，联立解得 m 的值依题意有：由解得：m1或 m15，又由可知m 94 m15 舍去，故 m1随练 4.3已知关于 x的方程 x22m8 0 的一个根大于1，另一个根小于1，求 m 的4 x取值范围【答案】5m2【解析】设 x1 ， x2 是方程的两根，且x11 ， x21 ，即 x11 0 ， x210 ，( x11)( x21) x1 x2( x1x2 ) 1 0x1 x22m8，解得 m5 因此x24x12164(2 m8)0随练 4.4如果实数 a,b 分别满足 a22a2 ， b22b2 ，求 11 的值ab【答案】当 ab 时， 111 ；当 ab 时，当 ab13时，113 1 ，当ababa b13 时， 1113ab【解析】由题意知： a, b 为方程 x22x20 的两个根，且 a0, b0 ，22x20得： x113 ， x213解方程 x当 ab 时，有 ab2 ， ab2 ，11ab2；abab12当 ab 时，方程的根为x113 ， x213当 ab13 时，112231 ；a ba31当 a b13 时， 1 1 22113 aba3第 3页
