1、最新 料推荐圆专题一辅助线1遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用： 1、利用垂径定理；2 、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3 、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。4、可得等腰三角形；5 、据圆周角的性质可得相等的圆周角。例：如图，是 O 的直径 ,PO AB 交 O 于 P 点，弦 PN 与 AB 相交于点 M ，求证： PM ?PN=2PO 2.分析：要证明PM?PN=2PO2，即证明 PM ?PC
2、=PO 2，过 O 点作 OCPN 于 C，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明PM?PC=PO2，要证明 PM?PC=PO2 只需证明 Rt POCRt PMO.证明 : 过圆心 O 作 OC PN 于 C， PC=1 PN2 PO AB, OC PN ， MOP= OCP=90 .又 OPC= MPO ， RtPOC RtPMO. POPC即 PO2 = PM?PC. PO2= PM ?1PN， PM ?PN=2PO2.PMPO2【例 1】如图，已知 ABC内接于 O， A=45， BC=2，求 O的面积。AOBC【例 2】如图， O的直径为 10，弦 AB8， P 是弦 AB 上一个动点
3、，那么 OP的长的取值范围是 _ 【例 3】如图，弦 AB的长等于 O的半径，点 C 在弧 AMB上，则 C的度数是 _.1最新 料推荐2遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。例如图，在 ABC 中， C=90，以 BC 上一点 O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点 M ，交 BC 于点 N （ 1） 求证： BA BM=BC BN ；（ 2） 如果 CM 是 O 的切线， N 为 OC 的中点，当 AC=3 时，求 AB 的值分析：要证 BA BM=BC BN ，需证 ACB NMB ，而 C=90，所以需要 NMB中有个直角，而BN
4、 是圆 O 的直径，所以连结 MN 可得 BMN=90 。（ 1）证明：连结 MN ，则 BMN=90 = ACBA ACB NMBBCABM BMBN AB BM=BC BN（ 2）解：连结 OM ，则 OMC=90 N 为 OC 中点 MN=ON=OM ， MON=60 COB OM=OB ， B= 21 MON=30 N ACB=90 ， AB=2AC=2 3=6【例 4】如图， AB 是 O的直径， AB=4，弦 BC=2,B=C3遇到 90的圆周角时ABO常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。【例 5】如图， AB 、AC 是 O的的两条弦，BAC=
5、90，AB=6， AC=8， O的半径是ACBO5遇到有切线时（ 1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） （ 2）常常添加连结圆上一点和切点作用： 1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。2、利用切线的性质定理可得OA AB，得到直角或直角三角形。2最新 料推荐【例 6】如图，AB是 O的直径，弦 AC与 AB成 30角，CD与 O切于 C，交 AB?的延长线于D，求证：AC=CD6遇到证明某一直线是圆的切线时切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是： “经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：
6、 （ 1）直线经过半径的外端， （ 2）直线垂直于这条半径，所以 ,在证明直线是切线时 , 往往需要通过作恰当的辅助线 ,才能顺利地解决问题 .下面是添辅助线的小规律 .1无点作垂线需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径 .例 7已知：如图，AB 是 O 的直径， AD AB 于 A ， BC AB 于 B ，若 DOC= 90 .求证： DC 是 O 的切线 .分析： DC 与 O 没有交点，“无点作垂线” ，过圆心 O 作 OE DC ，只需证半径，若能证 OE=OA 即可 .而 OE 、OA 在 DEO 、 DAO 中，
7、 DAOOE 等于圆的半径 .因为 AO 为需 证 明 DEO证明：作 OE DC 于 E 点，取 DC 的中点 F，连结 OF.又 DOC= 90 . FO=FD 1= 3. AD AB ，BC AB, BC AD, OF 为梯形的中位线 . OF AD . 2= 3. 1= 2. DO 是 ADE 的角平分线 . OA DA ， OE DC ， OA=OE= 圆的半径 . DC 是 O 的切线 .2有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.例 8已知：如图，AB 为 O 的直径， BC 为 O 的切线，切点为B， OC 平行于弦
8、AD ，求证： CD 是O 的切线 .分析： D 在 O 上，有点连圆心，连结DO ，证明 DO DC 即可 .证明：连结DO， OC AD DAO= COB， ADO= DOC而 DAO= ADO DOC= COB ，又 OC=OC ，DO=BO DOC BOC ODC= OBC， BC 为 O 的切线，切点为 B OBC=9 0， ODC=9 0，又 D 在 O 上， CD 是 O 的切线 .【例 7】 如图所示，已知AB是O 的直径， ACL 于 C，BDL 于 D，且 AC+BD=AB。求证：直线L 与O相切。3最新 料推荐【例 8】如图， ABO中， OA= OB，以 O为圆心的圆经
9、过AB 中点 C，且分别交OA、OB于点 E、 F求证： AB是 O切线；7遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形。AD【例 9】如图， P 是 O外一点， PA、 PB分别和 O切于 A、B， C 是弧 AB上OPC任意一点，过C 作 O的切线分别交 PA、 PB于 D、 E，若 PDE的周B E长为 12，则PA长为 _8遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；内
10、心到三角形三条边的距离相等。【例 10】如图， ABC 中， A=45 ， I 是内心，则 BIC=【例 11】如图， RtABC 中， AC=8 ， BC=6 ， C=90 ， I 分别切 AC ，BC， AB 于 D ，E， F，求 Rt ABC 的内心 I 与外心 O 之间的距离9遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。 课后冲浪 1已知： P 是 O外一点， PB， PD 分别交 O 于 A、 B 和 C、 D，且 AB=CD.求证：PO平分 BPD.4最新 料推荐2如图，ABC中， C=90，圆 O 分别与 AC、BC相切于M、N，点 O在 AB上，
11、如果 AO=15 ， BO=10，A求圆 O的半径 .oMCNB3已知： ABCD的对角线AC、 BD 交于 O 点， BC切 O于 E 点 . 求证： AD 也和 O相切 .AD. OBEC4如图，学校A 附近有一公路MN，一拖拉机从P 点出发向PN方向行驶，已知NPA=30， AP=160 米，假使拖拉机行使时，A 周围 100 米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时， 学校是否会受到噪音影响？请说明理由 . 如果拖拉机速度为18 千米小时，则受噪音影响的时间是多少秒？5如图， A 是半径为 1 的圆 O 外的一点， OA=2， AB 是圆 O 的切线， B 是切点，弦 BC OA，连结 AC，求阴影部分的面积 .CBO.A我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀：弦与弦心距，密切紧相连；直径对直角，圆心作半径；已知有两圆，常画连心线；.遇到相交圆，连接公共弦；遇到相切圆，作条公切线；“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间 .5
