1、高考必备物理万有引力与航天技巧全解及练习题( 含答案 )一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1 如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v0 抛出一个小球，测得小球经时间 t 落到斜坡上另一点 Q，斜面的倾角为 ，已知该星球半径为 R，万有引力常量为 G，求：(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的质量。2v0 tan2v0 R2tan【答案】 （1） g（2 ）tGt【解析】【分析】平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度；根据万有引力等于重力求出星球的质量；【详解】(1)根据平抛运动
2、知识可得y1 gt22gttanv0t2v0x2v0 tan解得 gtGMm(2)根据万有引力等于重力，则有R2mggR22v0 R2tan解得 MGGt2 一名宇航员到达半径为 R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为 m 的小球，上端固定在 O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕 O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间 t 的变化规律如图乙所示 F1 、F2 已知，引力常量为G，忽略各种阻力求：（1）星球表面的重力加速度；（ 2）卫星绕该星的第一宇宙速度；（ 3）星球的密度F1F2（ 2）( F1 F2 ) RF1 F2【答案】 （1
3、） g6m(3)6m8 GmR【解析】【分析】【详解】（1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为 F2，在最低点拉力为 F1 设最高点速度为 v2 ，最低点速度为 v1 ，绳长为 l在最高点： F2mv22mgl在最低点： F1mv12mgl由机械能守恒定律，得1 mv12mg 2l1 mv2222由，解得F1 F2g6mGMm（2）R2mgGMmmv2R2=R两式联立得： v=(F1F2 )R6mGMm（3）在星球表面：R2mg星球密度：MV由，解得F1F28 GmR点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力
4、等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度3 一名宇航员抵达一半径为R 的星球表面后，为了测定该星球的质量，做下实验：将一个小球从该星球表面某位置以初速度v 竖直向上抛出，小球在空中运动一间后又落回原抛出位置，测得小球在空中运动的时间为t，已知万有引力恒量为G，不计阻力，试根据题中所提供的条件和测量结果，求：（1）该星球表面的“重力”加速度g 的大小；（2）该星球的质量M；（3）如果在该星球上发射一颗围绕该星球做匀速圆周运动的卫星，则该卫星运行周期T 为多大？【答案】 （1） g2v2vR2Rt（ 3） T 2（ 2） MtGt2v【解析】
5、【详解】（1）由运动学公式得： t 2vg解得该星球表面的“重力 ”加速度的大小g 2vt（2）质量为m 的物体在该星球表面上受到的万有引力近似等于物体受到的重力，则对该星球表面上的物体，由牛顿第二定律和万有引力定律得：mg G mMR2解得该星球的质量为M2vR2Gt（3）当某个质量为m的卫星做匀速圆周运动的半径等于该星球的半径R 时，该卫星运行的周期 T 最小，则由牛顿第二定律和万有引力定律G m M 4 2 m RR2T 2解得该卫星运行的最小周期T2Rt2v【点睛】重力加速度 g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力
6、；二是物体做匀速圆周运动其向心力由万有引力提供4 如图所示，A 是地球的同步卫星另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内已知地球自转角速度为0 ，地球质量为M ， B 离地心距离为r ，万有引力常量为G， O 为地球中心，不考虑A 和B 之间的相互作用（图中R、h不是已知条件）（ 1）求卫星 A 的运行周期 TA（ 2）求 B 做圆周运动的周期 TB（3）如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B 两卫星相距最近（O、 B、 A 在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？2r3t2（ 2） TB【答案】 （1） TA2（ 3）GM0GMr30【解析】【分析】【详解】（1）
7、A 的周期与地球自转周期相同2TA0GMmm( 2)2 r（2）设 B 的质量为 m， 对 B 由牛顿定律 :r 2TB解得： TB2r 3GM（3） A、 B 再次相距最近时 B 比 A 多转了一圈，则有：(B0 ) t 2t2GM解得：0r 3点睛：本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力，向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用；第3问是圆周运动的的追击问题，距离最近时两星转过的角度之差为2的整数倍 5 我国的火星探测器计划于2020 年前后发射，进行对火星的科学研究假设探测器到了火星上空，绕火星做匀速圆周运动，并测出探测器距火星表面的距离为h，以及其绕
8、行周期 T 和绕行速率 V，不计其它天体对探测器的影响，引力常量为G，求：(1)火星的质量 M(2)若 hTVg 火 大小 ，求火星表面的重力加速度4【答案】 （1） MTV38 V（ 2） g火 =T2 G【解析】(1)设探测器绕行的半径为2 rTr ，则：V得： rTV2设探测器的质量为m，由万有引力提供向心力得：GMmm V 2r 2r得： MTV 32 G(2)设火星半径为R，则有 r RhTVTV又 h得： R44火星表面根据黄金代换公式有：g火 = GMR28 V得： g火 =【点睛】（ 1）根据周期与线速度的关系求出半径，再根据万有引力提供向心力求解火星质量；（2）根据黄金代换公
9、式可以求出6 我国预计于2022 年建成自己的空间站。假设未来我国空间站绕地球做匀速圆周运动时离地面的高度为同步卫星离地面高度的，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。求：(1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小；(2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。【答案】 (1)(2)【解析】【详解】(1) 卫星在地球表面时，可知：空间站做匀速圆周运动时：其中联立解得线速度为：(2) 设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期分别为T1 和 T2，则由开普勒第三定律有：其中：，解得：【点睛】本题考查了万有引力的典型应用包括开普勒行星运动的三定律
10、、黄金代换、环绕天体运动的参量。72004 年 1 月，我国月球探测计划 “嫦娥工程 ”正式启动，从此科学家对月球的探索越来越深入 .2007 年我国发射了 “嫦娥 1 号 ”探月卫星， 2010 年又发射了探月卫星 “嫦娥二号”， 2013 年 “嫦娥三号 ”成功携带 “玉兔号月球车 ”登上月球 .已知地球半径为 R ，地球表面的重力加速度为 g ，月球绕地球运动的周期为 T ，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动.万有引力常量为 G .（ 1）求出地球的质量；（ 2）求出月球绕地球运动的轨道半径；（3）若已知月球半径为 r ，月球表面的重力加速度为g.当将来的嫦娥探测器登陆月球以6后，若要
11、在月球上发射一颗月球的卫星，最小的发射速度为多少？【答案】 （1） gR2（ 2） 3gR2T 2（ 3）grG4 26【解析】【详解】（1）在地球表面，由GMmR2mg解得地球的质量gRMG（2）月球绕地球运动，万有引力提供向心力，则有2GMm4m2 rr 2T2月球绕地球运动的轨道半径r3 GMT 23 gR2T 24242（3）在月球表面，则有m gm v26r解得vgr68 今年 6 月 13 日，我国首颗地球同步轨道高分辨率对地观测卫星高分四号正式投入使用，这也是世界上地球同步轨道分辨率最高的对地观测卫星如图所示，A 是地球的同步卫星，已知地球半径为R，地球自转的周期为T，地球表面的
12、重力加速度为g,求：（ 1）同步卫星离地面高度 h（ 2）地球的密度 (已知引力常量为 G)【答案】（ 1）3 gR2T 23g4 2R （ 2）4 GR【解析】【分析】【详解】（ 1）设地球质量为 M，卫星质量为 m，地球同步卫星到地面的高度为 h，同步卫星所受万有引力等于向心力为mM4 2 R hG2m2( R h)T在地球表面上引力等于重力为G MmmgR2故地球同步卫星离地面的高度为3 gR2T 2h4 2R（2）根据在地球表面上引力等于重力MmGR2mg结合密度公式为gR2MG3gV 4 R34 GR39 宇航员乘坐宇宙飞船靠近某星球，首先在距离该星球球心r 的圆轨道上观察星球表面，
13、他发现宇宙飞船无动力绕星球的周期为T；安全降落到星球表面后，他做了一个实验：如图所示，在倾角30o 的斜面上，以一定的初速度v0 沿水平方向抛出一个小物体，测得落点与抛出点间的距离为L，已知引力常量为G。求：（ 1）该星球的质量 M；（ 2）该星球的半径 R。【答案】【解析】 （1）在半径为r 的圆轨道运动时，对宇宙飞船，根据向心力公式有解得：（2）设星球表面的加速度为g，平抛时间为t，有：解得：对星球表面物体有：解得：。点睛：此题是万有引力定律和平抛运动的结合题目，解题的关键是通过平抛运动问题求解星球表面的重力加速度，然后结合万有引力求解.10 一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在
14、离地面h 高处让小球以 v0 的初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为星球的半径为R，己知万有引力常量为G，求：x，又已知该(1)、该星球表面的重力加速度g(2)、该星球的质量M(3)、该星球的第一宇宙速度v(最后结果必须用题中己知物理量表示)2222v0【答案】（ 1） g2h2hv0（2） MgR2hv0 R(3) vgR2hRxt 2x2GGx 2【解析】（1）小球做平抛运动时在水平方有xv0 t得小球从抛出到落地时间为：txv0小球做平抛运动时在竖直方向上有：h-R1 gt 22得该星球表面的重力加速度为：2h2R 2 hR v02g2x2t（2）设地球的质量为 M，静止在地面上的物体质量为mGMm由万有引力等于物体的重力得：mgR2所以该星球的质量为：gR22 h R v 02R 2MGx 2G(3) 设有一颗质量为 m的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v，则有GMmmv2mgRR2故该星球的第一宇宙速度为： vgRv02 h R Rx点睛：运用平抛运动规律求出小球从抛出到落地的时间和星球表面重力加速度；根据万有引力等于物体的重力求解星球的质量；忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式求解天体质量
