1、高考物理生活中的圆周运动解题技巧及练习题(2)一、高中物理精讲专题测试生活中的圆周运动1 如图，在竖直平面内，一半径为R 的光滑圆弧轨道ABC 和水平轨道PA 在 A 点相切 BC 为圆弧轨道的直径3O 为圆心， OA 和 OB 之间的夹角为 ， sin = ，一质量为 m5的小球沿水平轨道向右运动，经A 点沿圆弧轨道通过 C 点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C 点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零重力加速度大小为g求：（ 1 ）水平恒力的大小和小球到达C 点时速度的大小；（ 2 ）小球到达 A 点时动量的
2、大小；（ 3 ）小球从 C 点落至水平轨道所用的时间【答案】（ 1）5gR （ 2） m23gR （ 3） 35R225g【解析】试题分析本题考查小球在竖直面内的圆周运动、受力分析 、动量 、斜下抛运动及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知识解决问题的的能力解析 （ 1）设水平恒力的大小为F0，小球到达 C 点时所受合力的大小为F由力的合成法则有F0tanmgF 2(mg )2F02 设小球到达C 点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得v2FmR由式和题给数据得F03 mg 4v 5gR 2（2）设小球到达A 点的速度大小为v1 ，作 CDPA ，交 PA 于 D 点，由几何关系得DAR
3、sinCDR(1cos）由动能定理有mg CDF0DA1 mv21 mv12 22由式和题给数据得，小球在A 点的动量大小为pmv1m23gR 2（3）小球离开 C 点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g设小球在竖直方向的初速度为v ，从 C 点落至水平轨道上所用时间为t 由运动学公式有v t1gt 2CD 2vvsin由式和题给数据得35Rtg5点睛 小球在竖直面内的圆周运动是常见经典模型，此题将小球在竖直面内的圆周运动、受力分析 、动量、斜下抛运动有机结合，经典创新 2 如图所示，竖直圆形轨道固定在木板 B 上，木板小球 A 静止在木板 B 上圆形轨道的左侧一质量为B
4、固定在水平地面上，一个质量为m 的子弹以速度v0 水平射入小球并停3m留在其中，小球向右运动进入圆形轨道后，会在圆形轨道内侧做圆周运动圆形轨道半径为 R，木板 B 和圆形轨道总质量为12m，重力加速度为g，不计小球与圆形轨道和木板间的摩擦阻力求：(1)子弹射入小球的过程中产生的内能；(2)当小球运动到圆形轨道的最低点时，木板对水平面的压力；(3)为保证小球不脱离圆形轨道，且木板不会在竖直方向上跳起，求子弹速度的范围3216mgmv02【答案】 (1)mv0 (2)(3) v0 4 2gR 或 4 5gR v0 8 2gR84R【解析】本题考察完全非弹性碰撞、机械能与曲线运动相结合的问题(1)子
5、弹射入小球的过程，由动量守恒定律得：mv0(m3m)v1由能量守恒定律得：Q1mv0214mv1222代入数值解得： Q3 mv028(2)当小球运动到圆形轨道的最低点时，以小球为研究对象，由牛顿第二定律和向心力公式(m3m)v12得 F1(m3m) gR以木板为对象受力分析得F212mgF1根据牛顿第三定律得木板对水平的压力大小为F2木板对水平面的压力的大小F216mgmv024R(3)小球不脱离圆形轨有两种可能性： 若小球滑行的高度不超过圆形轨道半径R由机械能守恒定律得：1m 3m v12m 3m gR2解得： v042gR 若小球能通过圆形轨道的最高点小球能通过最高点有：(m 3m)v(
6、m 3m) gR22由机械能守恒定律得：1 (m 3m)v122(m 3m)gR1 ( m 3m)v2222代入数值解得：v04 5gR要使木板不会在竖直方向上跳起，木板对球的压力：F312mg(m3m)v在最高点有：F3(m3m)gR23由机械能守恒定律得：1(m 3m)v122(m 3m)gR1( m 3m)v3222解得： v082gR综上所述为保证小球不脱离圆形轨道，且木板不会在竖直方向上跳起，子弹速度的范围是v04 2gR 或 4 5gRv08 2gR3 如图所示，竖直平面内的光滑3/4 的圆周轨道半径为R， A 点与圆心O 等高， B 点在 O的正上方， AD 为与水平方向成 =4
7、5角的斜面， AD 长为 72 R一个质量为 m 的小球（视为质点）在A 点正上方 h 处由静止释放，自由下落至A 点后进入圆形轨道，并能沿圆形轨道到达B 点，且到达B 处时小球对圆轨道的压力大小为mg，重力加速度为g，求：(1)小球到 B 点时的速度大小vB(2)小球第一次落到斜面上C 点时的速度大小v(3)改变h，为了保证小球通过B 点后落到斜面上，h 应满足的条件【答案】(1)2gR(2)10gR(3)3Rh3R2【解析】【分析】【详解】(1)小球经过 B 点时，由牛顿第二定律及向心力公式，有2mgmgm vBR解得vB2gR(2)设小球离开 B 点做平抛运动，经时间t ，下落高度 y，
8、落到 C 点，则y1 gt 22y cotvB t两式联立，得y2vB24gRgg4R对小球下落由机械能守恒定律，有1 mvB2mgy1 mv222解得vv22gy2gR8gR 10gRB(3)设小球恰好能通过B 点，过 B 点时速度为 v ，由牛顿第二定律及向心力公式，有1mgm又v12Rmg (h R)1 mv122得h 3 R2可以证明小球经过B 点后一定能落到斜面上设小球恰好落到D 点，小球通过B 点时速度为v2，飞行时间为t ，(72R2R)sin1 gt 22(72R2R)cosv2t解得v22 gR又mg (h R)1 mv222可得h3R故 h 应满足的条件为3 R h 3R2
9、【点睛】小球的运动过程可以分为三部分，第一段是自由落体运动，第二段是圆周运动，此时机械能守恒，第三段是平抛运动，分析清楚各部分的运动特点，采用相应的规律求解即可4 如图所示，一质量为m 的小球 C用轻绳悬挂在O 点，小球下方有一质量为2m 的平板车 B 静止在光滑水平地面上，小球的位置比车板略高，一质量为m 的物块 A 以大小为v0的初速度向左滑上平板车，此时A、 C 间的距离为d，一段时间后，物块A 与小球 C 发生碰撞，碰撞时两者的速度互换，且碰撞时间极短，已知物块与平板车间的动摩擦因数为，重力加速度为g，若 A 碰 C 之前物块与平板车已达共同速度，求：（1） A、 C 间的距离d 与
10、v0 之间满足的关系式；（2）要使碰后小球C 能绕 O 点做完整的圆周运动，轻绳的长度l 应满足什么条件？【答案】（1）；（ 2）【解析】（1） A 碰 C 前与平板车速度达到相等，设整个过程A 的位移是x，由动量守恒定律得由动能定理得：解得满足的条件是（2）物块 A 与小球C 发生碰撞，碰撞时两者的速度互换，C 以速度v 开始做完整的圆周运动，由机械能守恒定律得小球经过最高点时，有解得【名师点睛】A 碰 C前与平板车速度达到相等，由动量守恒定律列出等式；A 减速的最大距离为d，由动能定理列出等式，联立求解。 A 碰 C后交换速度， C 开始做完整的圆周运动，由机械能守恒定律和 C 通过最高点
11、时的最小向心力为 mg，联立求解。5 如图所示，在光滑水平桌面EAB上有质量为m2 kg的小球P 和质量为M 1 kg 的小球 Q， P、 Q 之间压缩一轻弹簧(轻弹簧与两小球不拴接)，桌面边缘E 处放置一质量也为M1 kg的橡皮泥球S，在B 处固定一与水平桌面相切的光滑竖直半圆形轨道。释放被压缩的轻弹簧，P、 Q 两小球被轻弹簧弹出，小球P 与弹簧分离后进入半圆形轨道，恰好能够通过半圆形轨道的最高点C；小球Q 与弹簧分离后与桌面边缘的橡皮泥球S 碰撞后合为一体飞出，落在水平地面上的D 点。已知水平桌面高为h 0.2 m， D点到桌面边缘的水平距离为 x 0.2 m，重力加速度为g 10 m/
12、s 2，求：(1)小球P 经过半圆形轨道最低点B 时对轨道的压力大小NB；(2)小球Q 与橡皮泥球S 碰撞前瞬间的速度大小vQ；(3)被压缩的轻弹簧的弹性势能Ep。【答案】 (1)120N(2)2 m/s(3)3 J【解析】【详解】（1）小球 P 恰好能通过半圆形轨道的最高点C，则有2mg m vCR解得vCgR对于小球P，从 BC，由动能定理有 2mgR mvC2 1 mvB2221解得vB5gR在 B 点有2NB mg m vBR解得NB 6mg120 N由牛顿第三定律有NB NB 120 N（2）设 Q 与 S 做平抛运动的初速度大小为v，所用时间为t，根据公式 h12，得gt2t 0.
13、2 s根据公式x vt，得v1 m/s碰撞前后Q 和 S组成的系统动量守恒，则有Mv Q2Mv解得vQ 2 m/s（3） P、 Q 和弹簧组成的系统动量守恒，则有mvP Mv Q解得vP 1 m/s对 P、 Q 和弹簧组成的系统，由能量守恒定律有Ep 1 mvP2 1 MvQ222解得Ep 3 J6 如图所示， AB 是光滑的水平轨道，B 端与半径为l 的光滑半圆轨道BCD 相切，半圆的直径 BD 竖直，将弹簧水平放置，一端固定在A 点现使质量为m 的小滑块从D 点以速度v0进入轨道DCB，然后沿着BA 运动压缩弹簧，弹簧压缩最短时小滑块处于P 点，重力加速度大小为g，求：（1）在 D 点时轨
14、道对小滑块的作用力大小FN；（ 2）弹簧压缩到最短时的弹性势能Ep；（ 3）若水平轨道 AB 粗糙，小滑块从 P 点静止释放，且 PB 5l，要使得小滑块能沿着轨道BCD运动，且运动过程中不脱离轨道，求小滑块与AB 间的动摩擦因数的范围【答案】 （1）（ 2）（3） 0.2或 0.5 0.7【解析】 （1）解得（2）根据机械能守恒解得（3）小滑块恰能能运动到B 点解得 0.7小滑块恰能沿着轨道运动到C 点解得 0.5所以 0.5 0.7小滑块恰能沿着轨道运动D 点解得 0.2所以 0.2综上 0.2或 0.5 0.77 如图所示，一滑板放置在光滑的水平地面上，右侧紧贴竖直墙壁，滑板由圆心为O、
15、半径为 R 的四分之一光滑圆弧轨道和水平轨道两部分组成，且两轨道在B 点平滑连接，整个系统处于同一竖直平面内现有一可视为质点的小物块从A 点正上方P 点处由静止释放，落到 A 点的瞬间垂直于轨道方向的分速度立即变为零，之后沿圆弧轨道AB 继续下滑，最终小物块恰好滑至轨道末端C 点处已知滑板的质量是小物块质量的3 倍，小物块滑至B点时对轨道的压力为其重力的3 倍， OA 与竖直方向的夹角为 =60，小物块与水平轨道间的动摩擦因数为=0.3，重力加速度g 取 10 m / s2 ，不考虑空气阻力作用，求：（ 1）水平轨道 BC 的长度 L；（ 2） P 点到 A 点的距离 h【答案】 （1） 2.
16、5R（2） 2R3【解析】【分析】（1）物块从 A 到 B 的过程中滑板静止不动，先根据物块在B 点的受力情况求解B 点的速度；滑块向左滑动时，滑板向左也滑动，根据动量守恒和能量关系列式可求解水平部分的长度；（ 2）从 P 到 A 列出能量关系；在A 点沿轨道切向方向和垂直轨道方向分解速度；根据机械能守恒列出从A 到 B 的方程；联立求解h【详解】（1）在 B 点时，由牛顿第二定律： N Bmg mvB2B，其中 N =3mg；R解得 vB2gR ；从 B 点向 C 点滑动的过程中，系统的动量守恒，则mvB ( m 3m)v ；由能量关系可知：mgL1mvB21(m3m)v222联立解得： L
17、=2.5R；（2）从 P 到 A 点，由机械能守恒：12；mgh=mvA2在 A 点： vA1vA sin 600，从 A 点到 B 点： 1 mvA21mgR(1cos60 0 )1 mvB222联立解得 h= 2R38 如图所示，一段粗糙的倾斜轨道，在B 点与半径 R=0.5m 的光滑圆弧轨道BCD相切并平滑连接 CD 是圆轨道的竖直直径， OB 与 OC夹角 =53 将质量为 m=1kg 的小滑块从倾斜轨道上的 A 点由静止释放， AB=S，小滑块与倾斜轨道间的动摩擦因数=0.5 sin53 =0.8， cos53 =0.6， g=10m/s 2求 ：（ 1）若 S=2m，小物块第一次经
18、过 C 点时的速度大小 ；（ 2）若 S=2m，小物块第一次经过 C 点时对轨道的压力大小 ；（ 3）若物块能沿轨道到达 D 点，求 AB 的最小值 S【答案】 （1） 26m/s （ 2） 58N（ 3） S=2.1m【解析】【分析】【详解】（1）对小滑块从A 到 C的过程应用动能定理mgS sinmgR(1cos)mgS cos1 mvc202代入数据得vc26m/s（2） C 点时对滑块应用向心力公式FNmgm代入数据得vC2RFN58N根据牛顿第三定律得F压FN58N（3）小滑块恰能通过最高点D 时，只有重力提供向心力mgmvD2R代入数据得vD5m/s对小滑块从静止释放到D 点全过程
19、应用动能定理mgSsinmgR(1 cos )mgS cos1mvD202代入数据得S2.1m【点睛】本题分析清楚物体运动过程是解题的前提与关键，应用动能定理与牛顿第二定律可以解题，解题时注意物体做圆周运动临界条件的应用9 如图所示，质量 m 0.2kg 的金属小球从距水平面h 5.0 m 的光滑斜面上由静止开始释放，运动到 A 点时无能量损耗，水平面AB 是粗糙平面，与半径为R0.9m 的光滑的半圆形轨道 BCD相切于 B 点，其中圆轨道在竖直平面内，D 为轨道的最高点，小球恰能通过最高点 D，求： (g 10 m/s 2)(1)小球运动到A 点时的速度大小；(2)小球从 A 运动到 B 时
20、摩擦阻力所做的功；【答案】 (1) 10m/s (2) 5.5 J【解析】【详解】（1 ）小球运动到A 点时的速度为vA ，根据机械能守恒定律可得mgh1mvA22解得vA=10m/s.（2 ）小球经过D 点时的速度为vD ，则2mgm vDR解得vD3m / s小球从 A 点运动到D 点克服摩擦力做功为Wf ，则mgRW f1 mvD21 mvA222解得Wf5.5J10 如图所示，AB是倾角为BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与的粗糙直轨道，圆弧相切，圆弧的半径为R一个质量为 m 的物体（可以看作质点）从直轨道上与圆弧的圆心 O 等高的 P 点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动已
21、知物体与轨道AB 间的动摩擦因数为，重力加速度为 g试求：（1）物体释放后，第一次到达B 处的速度大小，并求出物体做往返运动的整个过程中在AB 轨道上通过的总路程s；（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力的大小；（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D（E、 O、D 为同一条竖直直径上的3 个点），释放点距 B 点的距离 L 应满足什么条件【答案】（ 1） vB2gR(sincos) ； LRmg(3 2cos) ；（ 2） FNtan（ 3） L (3 2cos )R2(sincos )【解析】【分析】【详解】（1）设物体释放后，第一次到达B 处的速度为v1 ，根据动能定
22、理可知：mgRcosmg cosR cos1mv12sin2解得：2gR(sincos )vBtan物体每完成一次往返运动，在AB 斜面上能上升的高度都减少一些，最终当它达B 点时，速度变为零，对物体从P 到 B 全过程用动能定理，有mgRcosmgL cos0得物体在 AB 轨道上通过的总路程为RL（2）最终物体以 B 为最高点在圆弧轨道底部做往返运动，设物体从B 运动到 E 时速度为v2 v，由动能定理知：mgR(1cos )1 mv222在 E 点，由牛顿第二定律有FN mgmv22R解得物体受到的支持力FNmg(32cos)根据牛顿第三定律，物体对轨道的压力大小为FN FNmg(3 2cos ) ，方向竖直向下（3）设物体刚好到达D 点时的速度为vD 此时有mgmvD2R解得：vDgR设物体恰好通过D 点时释放点距B 点的距离为L0 ，有动能定理可知：mg L0 sinR(1cos)mgcos L01 mvD22联立解得：L0(32cos ) R2(sincos)则：L (3 2cos )R)2(sincos答案：（ 1） vB2gR(sincos) ； LRmg(3 2cos ) ； （ 3）（2） FNtan (3 2cos) RLcos )2(sin
