1、高考物理带电粒子在无边界匀强磁场中运动试题经典一、带电粒子在无边界匀强磁场中运动1 专项训练1 如图所示，xOy 平面处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外点P3L,0处有一粒子源，可向各个方向发射速率不同、电荷量为q、质量为m 的带负电3粒子不考虑粒子的重力（1）若粒子 1 经过第一、二、三象限后，恰好沿x 轴正向通过点Q（0， -L），求其速率v ；1（2）若撤去第一象限的磁场，在其中加沿y 轴正向的匀强电场，粒子2 经过第一、二、三象限后，也以速率 v1 沿 x 轴正向通过点Q，求匀强电场的电场强度E 以及粒子 2 的发射速率 v2；（3）若在 xOy 平面内加沿y 轴正向
2、的匀强电场Eo，粒子 3 以速率 v3 沿 y 轴正向发射，求在运动过程中其最小速率v.某同学查阅资料后，得到一种处理相关问题的思路：带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场中运动，若所受洛伦兹力与电场力不平衡而做复杂的曲线运动时，可将带电粒子的初速度进行分解，将带电粒子的运动等效为沿某一方向的匀速直线运动和沿某一时针方向的匀速圆周运动的合运动请尝试用该思路求解22 E02BLq221BLq3E0【答案】（ 1）（2）v33m9m（ ）BB【解析】【详解】（1）粒子 1 在一、二、三做匀速圆周运动，则qv1 Bm v12r12由几何憨可知： r12L r123 L32BLq得到： v13m（2）粒子
3、 2 在第一象限中类斜劈运动，有：3 L v1t ， h1 qE t 232 m在第二、三象限中原圆周运动，由几何关系：Lh2r1 ，得到 E8qLB 29m22221BLq又 v2v12Eh ，得到： v29m（3）如图所示，将v3 分解成水平向右和v 和斜向的 v ，则 qv BE0qE0 ，即 vB而 vv2v32所以，运动过程中粒子的最小速率为vv v2v32E0即： vE0BB2 （加试题）有一种质谱仪由静电分析器和磁分析器组成，其简化原理如图所示。左侧静电分析器中有方向指向圆心 O、与 O 点等距离各点的场强大小相同的径向电场，右侧的磁分析器中分布着方向垂直于纸面向外的匀强磁场，其
4、左边界与静电分析器的右边界平行，两者间距近似为零。离子源发出两种速度均为v0、电荷量均为 q、质量分别为 m和 0.5m的正离子束，从M 点垂直该点电场方向进入静电分析器。在静电分析器中，质量为m 的离子沿半径为r 0 的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，从N 点水平射出，而质量为0.5m的离子恰好从ON 连线的中点 P 与水平方向成 角射出，从静电分析器射出的这两束离子垂直磁场方向射入磁分析器中，最后打在放置于磁分析器左边界的探测板上，其中质量为m 的离子打在O 点正下方的 Q 点。已知 OP=0.5r ， OQ=r ， N、 P 两点间的电势差00mv 24U NP, cos，不计重力和离子
5、间相互作用。q5（1）求静电分析器中半径为r0 处的电场强度E0 和磁分析器中的磁感应强度B 的大小；（2）求质量为 0.5m 的离子到达探测板上的位置与O 点的距离 l（用 r0 表示）；（3）若磁感应强度在（B B）到（ B B）之间波动，要在探测板上完全分辨出质量为 m 和 0.5m的两東离子，求B 的最大值B【答案】（ 1） E0mv2， Bmv0；（ 2） 1.5r0 ；（ 3）12%0qr0qr0【解析】【详解】（1）径向电场力提供向心力：E qm vc2crcEcmvc2mvcqrcBqrc（2）由动能定理：10.5mv210.5mvc2qU NP22vvc24qU NP5vcm
6、0.5mv 15rc或 r2qBl2r cos0.5rc解得 l 1.5rc2r02r0 cosr0（3）恰好能分辨的条件：1BB2B1BB17 412 0解得0B3 如图所示 圆心为、半径为R的圆形磁场区域中存在垂直纸面向外的匀强磁场,以圆心,OO为坐标原点建立坐标系在y=-3R处有一垂直y轴的固定绝缘挡板,一质量为m、带电量为,+q的粒子 与x轴成角从M点（ -R,0）以初速度v0斜向上射入磁场区域 经磁场偏转后,60 ,由 N 点离开磁场 (N点未画出 )恰好垂直打在挡板上,粒子与挡板碰撞后原速率弹回,再次进入磁场 最后离开磁场不计粒子的重力求:,.,(1)磁感应强度B 的大小 ;(2)
7、N 点的坐标 ;(3)粒子从 M 点进入磁场到最终离开磁场区域运动的总时间.mv0(2) ( 3 R,1 R)(3)(5 ) R【答案】 (1)v0qR22【解析】（1）设粒子在磁场中运动半径为r ，根据题设条件画出粒子的运动轨迹：由几何关系可以得到：rR由洛伦兹力等于向心力：qv0 Bm v02，得到： Bmv0rqR（2）由图几何关系可以得到：x R sin 60o3 R ， yR cos60o1 R22N点坐标为：3 R,1 R222 m（ 3）粒子在磁场中运动的周期 T，由几何知识得到粒子在磁场在中运动的圆心角qB共为 180o ，粒子在磁场中运动时间：t1T，粒子在磁场外的运动，由匀
8、速直线运动可以2t 22s1 R ，粒子从 M点进入得到：从出磁场到再次进磁场的时间为：，其中 s 3Rv02磁场到最终离开磁场区域运动的总时间tt 1t 25R解得： tv04 如图所示，有一磁感强度B 9.1 10 3 T 的匀强磁场， C、 D 为垂直于磁场方向的同一平面内的两点，它们之间的距离l =0.1m ，今有一电子在此磁场中运动，它经过C 点的速度v 的方向和磁场垂直，且与CD 之间的夹角 =30 。（电子的质量 m 9.1 1031 kg ，电量q1.6 10 19 C ）(1)电子在 C 点时所受的磁场力的方向如何？(2)若此电子在运动后来又经过D 点，则它的速度应是多大？(
9、3)电子从 C 点到 D 点所用的时间是多少？【答案】（ 1）见解析；（2） 1.6108 m/s ；（ 3） t 6.5 10 10 s 。【解析】【分析】【详解】(1) 电子以垂直磁场方向的速度在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据左手定则可判断电子在 C 点所受磁场力的方向如图所示，垂直于速度方向。(2)电子在洛伦兹力作用下作匀速圆周运动，夹角=30 为弦切角，圆弧CD所对的圆心角为60，即 DOC=60 ， CDO为等边三角形，由此可知轨道半径R=l由牛顿第二定律可得mv2evBR代入数值解得veBl1.6 108 m/sm(3)将 R=l 和 veBl2R代入周期公式 Tv
10、中得mT2 meB 子从 C 点到 D 点所用 t，由于 子做匀速 周运 ，所以t 3 1 T 2 6由上两式得t1 Tm63eB代入数据得t6.5 10 10 s5 在科学研究中，可以通 施加适当的磁 来 粒子运 的控制在如 所示的平面坐 系 x0y 内，矩形区域 (-3dxd， -3 dy0)的粒子从P 点在 面内垂直于OP 射出。己知粒子运 迹 心O，不 重力。求(1)粒子在磁 中做 周运 的半径；(2)粒子第一次在 形区域内运 所用的 。【答案】 (1)(2)【解析】【分析】本 考 在匀 磁 中的匀速 周运 及其相关的知 点，意在考 考生灵活运用相关知 解决 的的能力。【 解】（1）找
11、 心，画 迹，求半径。 粒子在磁 中运 半径 R，由几何关系得：易得：（2） 入磁 速度的大小 v，由洛 力公式和牛 第二定律有 入 形区域， 粒子做匀速直 运 ， 联立解得7 如图所示为一磁约束装置的原理图，同心圆圆心O 与xOy 平面坐标系原点重合 .半径为R0 的圆形区域内有方向垂直于xOy 平面向里的匀强磁场.一束质量为 m 、电荷量为 q、动能为 E0 的带正电粒子从坐标为0, R0的 A 点沿 y 轴负方向射入磁场区域，粒子全部经过坐标为R ,0的点，方向沿 x轴正方向 当在环形区域加上方向垂直于xOy 平面P.0向外的另一匀强磁场时，上述粒子仍从A点沿 y 轴负方向射入区域，所有
12、粒子恰好能够约束在环形区域内，且经过环形区域的磁场偏转后第一次沿半径方向从区域射入区域时经过内圆周上的M 点 ( M 点未画出 ).不计重力和粒子间的相互作用.（1）求区域中磁感应强度B1 的大小；（2）若环形区域中磁感应强度B23B1 ，求 M 点坐标及环形外圆半径R ；（3）求粒子从 A 点沿 y轴负方向射入圆形区域至再次以相同速度经过A点的过程所通过的总路程 .【答案】 （1）2mE0 （ 2）1 R0 ,3 R0 ，3R0（ 3） 6 16 3R0qR0223【解析】试题分析： （ 1）由题设条件就能求出粒子在区内做匀速圆周运动的半径，由洛仑兹力提供向心力就能求出区磁场的磁感应强度大小
13、（ 2）进入后，粒子恰好约束在该区，画出粒子运动轨迹，由两区域内磁场的关系，找到在区内做匀速圆周运动的半径，再由几何关系求得粒子在区内转过的圆心角，从而再由几何关系就能求出 M 点的坐标和环形的外圆半径（ 3）先找出从 A 点出发，经过、区的正反两次偏转再次进入区时，相对 OA 方向偏转的角度，若经过m 次偏转时，粒子第一次经过A 点，此时转过m 周，列出方程，解出整数解，那么总路程就是m 倍的一次偏转的路程（1）由题意，粒子在区域内从A 点做匀速圆周运动到P 点，显然r1R02在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，则有：qB1v0m v0 ，且 E01 mv02r12联立解得： B12mE0qR0
14、（2）粒子进入环形区域后做顺时针方向匀速圆周运动，则有： qB v m v0220r2由题设条件： B23B1联立解得： r23 R03画出粒子在区内做匀速圆周运动的轨迹如图所示POM601R0，3由几何关系得 ：22 R0，则 M 点的坐标为由几何关系外环的半径 Rr2 2r23r23R0（3）粒子在区域和区域两次偏转后，从M 点再次进入区域时，圆心角转过150 ，设经过 m 次这样的偏转后第一次从A 点再交入射，此时圆心角转过n 个 360则有： 150m=360n （m、 n 取正整数）解得： m=12， n=5而粒子在、区偏转一次通过的路程s112 r12 2r2( 1 43 )R04
15、329所以经过 12 次如此偏转后第一次通过A 点，则总路程为s12s12 983R038 如图所示的xoy 平面内，以 O1 （ 0， R）为圆心， R 为半径的圆形区域内有垂直于xoy平面向里的匀强磁场（用B1 表示，大小未知）；x 轴下方有一直线MN ， MN 与 x 轴相距为y ）， x 轴与直线 MN 间区域有平行于 y 轴的匀强电场，电场强度大小为E；在 MN 的下方有矩形区域的匀强磁场，磁感应强度大小为B2 ，磁场方向垂直于xOy 平面向外。电子a、 b 以平行于x 轴的速度 v0 分别正对 O1 点、 A（0， 2R）点射入圆形磁场，偏转后都经过原点 O 进入 x 轴下方的电场
16、。已知电子质量为m，电荷量为e， E3mv02， B23mv0 ，不计电子重力。2eR2eR（1）求磁感应强度 B1 的大小；（2）若电场沿 y 轴负方向，欲使电子a 不能到达 MN ，求y 的最小值；（3）若电场沿 y 轴正方向，y3R ，欲使电子 b 能到达 x 轴上且距原点O 距离最远，求矩形磁场区域的最小面积。【答案】 （1） 3 （ 2）3R（ 3） 4（ 2+ 3 ） R23【解析】（1）电子射入圆形区域后做圆周运动，轨道半径大小相等，设为r，当电子射入，经过O 点进入 x 轴下方，则： r Rv02mv0ev0B m，解得： B1eRr（ 2）匀强电场沿 y 轴负方向，电子 a
17、从 O 点沿 y 轴负方向进入电场做减速运动，由动能定理eE y1mv022可求出mv023yR2eE3（3）匀强电场沿y 轴正方向，电子b 从 O 点进入电场做类平抛运动，设电子b 经电场加速后到达 MN 时速度大小为v，电子 b 在 MN 下方磁场做匀速圆周运动轨道半径为r1，电子 b 离开电场进入磁场时速度方向与水平方向成角，如图所示。由动能定理 eEy1mv21mv0222解得 v2v0在电场中 aeE3v02m2Rt12 y2Rav0x v t 2R01由牛顿第二定律evB2m v2代入得 r14 3 Rr13cosv01则v23由几何关系可知，在下方磁场中运动的圆心O2 在 y 轴
18、上，当粒子从矩形磁场右边界射出，且射出方向与水平向右夹角为时，粒子能够到达x 轴，距离原点 O 距离最远。由几3何关系得，最小矩形磁场的水平边长为l1（ r 1 r1sin ）竖直边长为， l2（ r1 r1cos ）最小面积为Sl1212（ 1 sin ）（ 1 cos ） 4（ 22l r3 ） R点睛：本题考查粒子在电场和磁场中的运动，关键是画出运动轨迹，根据动能定理、分运动公式、牛顿第二定律列式，并结合几何关系分析。9 如图所示，在水平面内有一个正三角形边界和一个边长为 l、每条边均为挡板的正六边形边界 ABCDEF，在其六个顶点各开有一小孔，且正三角形边界与正六边形边界的几何中心重合
19、 .两边界之间的区域和六边形边界以内的区域均有垂直纸面向里的匀强磁场，三角形边界以外为真空.区域磁感应强度大小为4B0，区域磁感应强度大小为B0.现有大量质量均为m、电量均为q 的正电粒子(粒子直径略小于小孔直径)从 A 点以大小不同的速度v垂直于AB 边进入区域，若粒子与挡板撞击则速度立刻减为0，不计粒子的重力与粒子间(1)求能从顶点C由区域射入区域的粒子速度的大小；(2)求粒子最初从A 点出发又回到A 点经历的最短路程;(3)为使所有粒子均不会从正三角形边界中飞出，求正三角形边界所围的最小面积.【答案】 (1) vqBL(2)7 l （ 3） 36 21 3 l 2m216【解析】(1)粒
20、子能从 C 点由区域射入区域的粒子圆心在B 点 ,轨迹半径 R=l又因为 mv2qBLqvB0 ，所以 v；Rm(2)经分析，除一开始从发射点A 运动到点 D、并在点 D 由区域射入区域的粒子，其余粒子运动一段时间后均会与挡板相撞，速度减为0.不与挡板相撞的粒子在区域运动轨迹的半径R1 =2l，圆心角3在区域磁感应强度变为4B0 ，运动轨迹的半径R21 R11 l ，圆心角42可画出物理在两个磁场区域内的运动轨迹如图所示.从 A 出发回到 A 的最短 l总 =(3) 2l 3l7 l ；322(3)如下图所示，画一个正三角形边界，使该三角形三条边均与区域中的三个半圆形轨迹相切 .由 可知，三角
21、形h(23) r3(33 3 ) r( 33 3 )l2224边长 l3(23) r(33)l2s1 h l36213 l 2216点睛：本 运用几何关系与物理 律相 合来解 ，要学生掌握 型的答 方法与技巧，因此根据 意 合知 ，画出正确的运 迹 是关 之 。10 代物理 常用磁 来研究同位素粒子，在xoy 坐 系内有垂直于平面向里的匀 磁 ，磁感 度 B 有 荷量均 ab两粒子从坐 原点O 以相同速率 v 同 q 的 、射入磁 ， a 沿 x 正方向， b 沿 y 正方向， a 粒子 量 m ， b 粒子 量 2m ，不 粒子重力以及粒子 相互作用，求：（ 1）当 a 粒子第 1 次 到达
22、 y ， b 粒子到达的位置坐 ；（ 2） a、b 粒子是否会再次相遇？如能， 通 推 求出何 相遇；如不能， 要 明理由；（3） 两粒子在y 上投影的距离 y ， y 何 有最大 并求出y 的最大 【答案】 （1）（2mv2mv4kmqB，）（ 2） a、b 粒子在 t 刻相遇qBqB（k=1、 2、 3）（ 3） t(4n 3) m（ n=1、 2、 3）4mvqBBq【解析】 分析：（ 1）由可知：a 粒子半径周期2mv22mb 粒子半径 r22r1 周期 T22T1qBqBa 粒子第 1 次 到达y 轴历时所以此 b 粒子运 1周，位置坐 （）4（2）由 可知：ab 可能在 O、P 点
23、再次相遇，所以 A.b 粒子 t T24 m因 在 O 点再次相遇， 程粒子不可能在PqB点相遇4k m所以 A.b 粒子在 t（ k=1、 2、3） 刻相遇qB（3）解法一：由第（ 1） 分析可知，当a 粒子第二次到达其 迹最高点 （即a 粒子运 了 3T1 ），2b 粒子恰好在其 迹的最低点，此 两粒子在y 上投影的距离y最大考 周运 的周期性，此后a 粒子每运 两周， b 粒子运 一周，两粒子在y 上投影的距离 y再次最大所以 t3T1 n 2T1(4 n3) m 时最大2Bqymax4mv4r1Bq解法二：由可知： a 粒子半径 r ， b 粒子的半径 2r由可知： b 的半径扫过角时
24、， a 的半径扫过2角当时，有最大值 4r，此时即 2n1.52 tBqt最大， ymax 4r4mvt2m得：时T2Bq考点：带电粒子在磁场中的运动【名师点睛】本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了11 在如图所示的xoy 坐标系中，一对间距为d 的平行薄金属板竖直固定于绝缘底座上，底座置于光滑水平桌面的中间，极板右边与y 轴重合，桌面与x 轴重合， o 点与桌面右边相距为 7d ，一根长度也为d 的光滑绝缘细杆水平穿过右极板上的小孔后固定在左极板4上，杆离桌面高为1.5d，装置的总质量为3m两板外存在垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场和匀强电场（图中未画出），假设极板内、外的电磁场互不影响且不考虑边缘效应有一个质量为m、电量为 +q 的小环（可视为质点）套在杆的左端，给极板充电，使板内有沿 x 正方向的稳恒电场时，释放小环，让其由静止向右滑动，离开小孔后便做匀速圆周运动，重力加速度取 g求：（ 1）环离开小孔时的坐标值；（ 2）板外的场强 E2 的大小和方向；（ 3）讨论板内场强 E1 的取值范围，确定环打在桌面上的范围【答案】（ 1）环离开小孔时的坐标值是1- d；4mg，方向沿 y 轴正方向；（2）板外的场强 E2 的大小为q（3）场强 E1 的取值范围为qB 2d
