1、分别是正弦余弦 正切余切正割余割分别就是正弦余弦正切余切正割余割角的所有三角函数(见 : 函数图形曲线)在平面直角坐标系xOy 中 ,从点 O 引出一条射线OP, 设旋转角为,设 OP=r,P点的坐标为(x,y) 有正弦函数sin =y/r余弦函数cos =x/r正切函数tan =y/x余切函数cot =x/y正割函数sec =r/x余割函数csc =r/y(斜边为r, 对边为y, 邻边为x。 )以及两个不常用, 已趋于被淘汰的函数:正矢 函数versin =1 - cos余矢 函数covers =1 -sin 正弦 (sin): 角 的对边比上斜边余弦 (cos): 角 的邻边比上斜边正切
2、(tan): 角 的对边比上邻边余切 (cot): 角 的邻边比上对边正割 (sec): 角 的斜边比上邻边余割 (csc): 角 的斜边比上对边 编辑本段同角三角函数间的基本关系式:平方关系:sin2 cos2 11 tan2 sec21 cot2 csc2 积的关系:sin =tan coscos=cot sin tan =sin sec分别是正弦余弦 正切余切正割余割cot =cos cscsec=tan csccsc=sec cot 倒数关系:tan cot 1sin csc 1cos sec 1商的关系:sin /cos tan sec/csc cos/sin cot csc/sec
3、 直角三角形ABC 中 ,角 A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边,余弦等于角A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边,1 三角函数恒等变形公式两角与与差的三角函数:cos( +)=cos cos-sin sin cos( -)=cos cos+sin sin sin( )=sin cos cos sin tan( +)=(tan +tan )/(1-tan tan )tan( -)=(tan -tan )/(1+tan tan )三角与的三角函数:sin( +)=sin cos cos+cos sin cos+cos-cossinsin sin cos( +)=cos cos cos-cos si
4、n sin-sin cos sin-sin sin cos tan( +)=(tan +tan +tan-tan tan tan -)/(1tan tan-tan tan-tan tan)辅助角公式:Asin +Bcos=(A²+B²)(1/2)sin(+arctan(B/A),其中sint=B/(A²+B²)(1/2)cost=A/(A²+B²)(1/2)tant=B/AAsin -Bcos=(A²+B²)(1/2)cos( -t),tant=A/B 倍角公式 :sin(2 )=2sin cos=2/(tan +
5、cot )cos(2 )=cos²( )-sin²( )=2cos²( ) -1=1- 2sin²( )tan(2 )=2tan /1-tan²( )三倍角公式:sin(3 )=3sin -4sin³( )=4sin sin(60+ )sin(60- )分 是正弦余弦 正切余切正割余割cos(3 )=4cos³( )-3cos=4cos cos(60+ )cos(60 -)tan(3 )=tanatan( /3+a) tan( /3-a)半角公式 :sin( /2)= (1-cos)/2)cos( /2)= (1+cos )
6、/2)tan( /2)= (1-cos)/(1+cos )=sin/(1+cos )=(1-cos)/sin 降 公式sin²( )=(1 -cos(2 )/2=versin(2)/2cos²( )=(1+cos(2 )/2=covers(2)/2tan²( )=(1 -cos(2 )/(1+cos(2 )万能公式 :sin =2tan( /2)/1+tan²(/2)cos=1 - tan²( /2)/1+tan²(/2)tan =2tan( /2)/1 -tan²( /2) 化与差公式 :sin cos=(1/2)sin(
7、+)+sin(-)cos sin =(1/2)sin(+-sin()-)cos cos=(1/2)cos( +)+cos(-)sin sin =-(1/2)cos( +)-cos( - )与差化 公式 :sin +sin =2sin( +)/2cos( - )/2sin -sin =2cos( +)/2sin(-)/2cos+cos=2cos( +)/2cos(-)/2cos- cos=- 2sin( +)/2sin( -)/2推 公式tan +cot =2/sin2 tan -cot =-2cot2 1+cos2=2cos²1- cos2=2sin² 1+sin =(si
8、n /2+cos /2)²其她 :sin +sin( +2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+ +sin +2*(n1)/n=0-cos+cos( +2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+ +cos +2*(n -1)/n=0以及sin²( )+sin²( -2/3)+sin²(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+、 +cosnx=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx 明 :分别是正弦余弦 正切余切正割余割左边 =2sin
9、x(cosx+cos2x+、 +cosnx)/2sinx=sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+、 +sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx(积化与差)=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx=右边等式得证sinx+sin2x+、 +sinnx=- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx证明 :左边 =-2sinxsinx+sin2x+、 +sinnx/(-2sinx)=cos2x-cos0+cos3x-cosx+、 +cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-
10、2sinx)=-cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx=右边等式得证三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina( 3/2)²-
11、sin²a=4sina(sin²60 -sin²a)=4sina(sin60 +sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60 -a)/2*2sin(60-a)/2cos(60+a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosacos²a-( 3/2)²=4cosa(cos²a-cos²30)=4cosa(cosa+cos30 )(cosa-cos30 )=4cosa*2cos(a
12、+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90 -(60-a)sin-90+(60 +a)分别是正弦余弦 正切余切正割余割=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60 -a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a) 编辑本段三角函数的诱导公式公式一 :设 为任意角, 终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2k ) sin cos(2k ) costan(2k ) tan cot(2k ) cot
13、公式二 :设 为任意角, +的三角函数值与的三角函数值之间的关系:sin( ) sin cos( ) costan( ) tan cot( ) cot 公式三 :任意角与-的三角函数值之间的关系:sin( ) sin cos( ) costan( ) tan cot( ) cot 公式四 :利用公式二与公式三可以得到-与 的三角函数值之间的关系:sin( ) sin cos( ) costan( ) tan 分别是正弦余弦 正切余切正割余割cot( ) cot 公式五 :利用公式一与公式三可以得到2-与 的三角函数值之间的关系:sin(2 ) sin cos(2 ) costan(2 ) ta
14、 ncot(2 ) cot 公式六 :/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系:sin( /2 ) coscos( /2 ) sin tan( /2 ) cot cot( /2 ) tan sin( /2 ) coscos( /2 ) sin tan( /2 ) cot cot( /2 ) tan sin(3 /2 ) coscos(3 /2 ) sin tan(3 /2 ) cot cot(3 /2 ) tan sin(3 /2 ) coscos(3 /2 ) sin tan(3 /2 ) cot cot(3 /2 ) tan (以上 k Z)补充 :6 9 54 种诱导公式的表格以及推
15、导方法(定名法则与定号法则)f( ) f( )sin costan cot seccsc360k+sin cos tan cot sec csc 90-cos sin cot tan csc sec 90 +cos -sin -cot -tan -csc sec 180-sin -cos -tan -cot -sec csc 分别是正弦余弦 正切余切正割余割180 +-si n-cos tan cot -sec -csc 270-cos -sin cot tan -csc -sec 270 +-cos sin -cot -tan csc -sec 360-sin cos -tan -cot s
16、ec -csc -sin co s-tan -cot sec -csc 定名法则90的奇数倍+ 的三角函数, 其绝对值与三角函数的绝对值互为余函数。90的偶数倍 + 的三角函数与的三角函数绝对值相同。也就就是“奇余偶同, 奇变偶不变”定号法则将 瞧做锐角( 注意就是“瞧做 ”),按所得的角的象限,取三角函数的符号。也就就是“象限定号,符号瞧象限”比如 :90 +。定名 :90 就是 90的奇数倍, 所以应取余函数; 定号 : 将 瞧做锐角,那么 90+就是第二象限角,第二象限角的正弦为负,余弦为正。 所以 sin(90 +)=cos ,cos(90 +)-sin 这个非常神奇,屡试不爽 编辑本
17、段三角形与三角函数1 、正弦定理: 在三角形中,各边与它所对的角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.( 其中R 为外接圆的半径)2 、第一余弦定理:三角形中任意一边等于其她两边以及对应角余弦的交叉乘积的与 , 即 a=ccosB+ bcosC3 、第二余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之与减去这两边与它们夹角的余弦的积的2 倍 , 即 a2=b2+c2-2bccosA4 、正切定理(napier比拟 ): 三角形中任意两边差与的比值等于对应角半角差与的正切比值, 即 (a-b)/(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B
18、)/2/cot(C/2)5 、三角形中的恒等式:对于任意非直角三角形中, 如三角形ABC, 总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明 :已知 (A+B)=( -C)所以tan(A +B)=tan( -C)则 (tanA+tanB)/(1- tanAtanB)=(tan -tanC)/(1+tan tanC)整理可得分 是正弦余弦 正切余切正割余割tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 似地 , 我 同 也可以求 :当 +=n(n Z) 时 , 有 tan +tan +tan =tan tan tan 本段部分高等内容高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒
19、数易得):sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i)cosx=e(ix)+e(-ix)/2tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix)泰勒展开有无 数,ez=exp(z) 1 z/1 ！ z2/2 ！ z3/3 ！ z4/4 ！ zn/n ！ 此 三角函数定 域已推广至整个复数集。三角函数作 微分方程的解: 于微分方程 y=-y;y=y,有通解 Q, 可 明Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出 定 三角函数。 充 : 由相 的指数表示我 可以定 一种 似的函数 双曲函数 ,其 有很多与三角函数的 似的性 ,二者相映成趣。:角度 a0 30 45 60 90 180
20、1、 sina01/22/23/2102、 cosa13/2 2/2 1/20-13、 tana03/3 1 3 / 04 、 cota/3 13/3 0 /(注 : “” 根号 ) 本段 三角函数的计算 数c0+c1x+c2x2+ 、 +cnxn+ 、 =cnxn (n=0 、 )c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+、 +cn(x-a)n+、 =cn(x -a)n (n=0 、 )它 的各 都就是正整数 的 函数,其中 c0,c1,c2, 、 cn 、及 a 都就是常数 , 种 数称 数、泰勒展开式( 数展开法 ):f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a
21、)2+、 f(n)(a)/n!*(x-a)n+、 用 数 :ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+、 +xn/n!+、ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-、 (-1)k-1*xk/k+ 、(|x|1)sin x =x-x3/3!+x5/5!-、 (-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+、(- x)分别是正弦余弦 正切余切正割余割cosx= 1-x2/2!+x4/4!-、 (-1)k*x2k/(2k)!+、(- x)arcsinx =x+1/2*x3/3+ 1*3/(2*4)*x5/5+ 、(|x|1)arccosx= -( x +1/2*x3/3+ 1*3/(2*4)*x5/5+、
22、 ) (|x|1)arctanx=x- x3/3+x5/5- 、 (x 1)sinhx=x+x3/3!+x5/5!+、 (-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+、 (-x)coshx=1+x2/2!+x4/4!+、 (-1)k*x2k/(2k)!+、 (- x)arcsinhx=x-1/2*x3/3+ 1*3/(2*4)*x5/5- 、(|x|1)arctanhx=x+x3/3+ x5/5+ 、(|x|1)在解初等三角函数时,只需记住公式便可轻松作答,在竞赛中 , 往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。-傅立叶级数(三角级数 )f(x)=a0/2+(n=0 、
23、) (ancosnx+bnsinnx)a0=1/ ( 、 -) (f(x)dxan=1/ ( 、 -) (f(x)cosnx)dxbn=1/ ( 、 -) (f(x)sinnx)dx三角函数的数值符号正弦第一,二象限为正,第三,四象限为负余弦第一,四象限为正第二, 三象限为负正切第一,三象限为正第二, 四象限为负 编辑本段三角函数定义域与值域sin(x),cos(x)的定义域为R, 值域为-1,1 tan(x)的定义域为x 不等于/2+k ,值域为Rcot(x)的定义域为x 不等于k,值域为R 编辑本段初等三角函数导数y=sinx-y=cosxy=cosx-y=-sinxy=tanx-y=1/
24、(cosx)2;=(secx)2;y=cotx-y=-1/(sinx)2=-(cscx)2;y=secx-y=secxtanxy=cscx-y=-cscxcotxy=arcsinx-y=1/1-x2;y=arccosx-y=-1/ 1-x2;y=arctanx-y=1/(1+x2;)y=arccotx-y=-1/(1+x2;)分别是正弦余弦 正切余切正割余割 编辑本段反三角函数三角函数的反函数,就是多值函数。它们就是反正弦Arcsinx, 反余弦Arccosx,反正切Arctanx, 反余切Arccotx 等 ,各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x 的角。为限制反三角函数为单值函数
25、,将反正弦函数的值y 限在y=- /2 y /2,将 y 为反正弦函数的主值,记为y=arcsinx; 相应地,反余弦函数y=arccosx 的主值限在 0y;反正切函数y=arctanx 的主值限在-/2y /2;反余切函数y=arccotx 的主值限在0y 。反三角函数实际上并不能叫做函数的要求 ,其图像与其原函数关于函数了 arc+ 函数名的形式表示反三角函数, 因为它并不满足一个自变量对应一个函数值y=x 对称。其概念首先由欧拉提出,并且首先使用,而不就是f-1(x) 、反三角函数主要就是三个:y=arcsin(x),y=arccos(x),y=arctan(x),定义域定义域定义域-1,1, 值域 -/2, /2,图象用红色线条-1,1, 值域 0, ,图象用兰色线条;(- ,+ ),值域 (- /2, /2),图象用绿色线条;sinarcsin(x)=x,定义域-1,1,值域【 -/2,/2】证明方法如下: 设 arcsin(x)=y,其她几个用类似方法可得。则sin(y)=x, 将这两个式子代如上式即可得
