1、陕西省西安市长安区第一中学2015 年高三上学期第三次模拟考试数学试卷本试卷分为 第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150 分 ,时间 120 分钟第卷（选择题共 60分）一选择题 ( 本大题共10 小题，每 小题 5 分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .)1. 已知集合 A1,1， Bx ax10 ，若 BA ，则实数 a 的所有可能取值的集合为( )A 1,0,1B 1,1C 1D 12. 若 i为虚数单位，则复数z1i 在复平面上对应的点位于（）12iA第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3. 设 a, b 是平面内两条不同的直线，l 是平面外
2、的一条直线， 则 la, 且 lb 是 l 的（）A充要条件B. 充分不必要条件C必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 等差数列 an中，如果 a1a4a739， a3a6a927，则 an 前 9 项的和为 ()A 297B. 144C 99D. 665. 已知向量 a (2,1), b (sincos,sincos) ，且 a b ，则 cos2sin 2（）A 7B7C 1D155556. 过 P(2,0)的直线 l 被圆 (x2) 2( y3)29 截得的线段长为2 时，直线 l的斜率为（）A2B.2C1D.34234xy20,y7.( 理科 ) 已知 x, y 满足不等式2x
3、y8，则 z 的最大值与最小值的差为（）0, 设 zx2,xA. 4B. 3C. 2D. 1xy1（文科） 设 x 、 y 满足约束条件：yx，则 z3xy 的最大值是（）y0A. 3B. 2C. 1D. 08. 函数 yln( x1) 与 y1的图像交点的横坐标所在区间为（）xA. (0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3, 4)9. 若下框图所给的程序运行结果为S35 ，那么判断框中应填入的关于k 的条件是 ( )A. k 7B. k 6C k 6D.k 610 若 x时，函数f ( x)A sin( x)( A0) 取得最小值，则yf (x) 是（）44A奇函数且图像关于点(,0)
4、 对称B.偶函数且图像关于直线x对称22C奇函数且图像关于直线x对称D.偶函数且图像关于点(,0)对称2211. （理科） 已知椭圆 x2y21的焦点为 F1 、 F2 ，在长轴 A1A2 上任取一点 M ，过 M 作垂直于 A1 A2 的4直线交椭圆于P ，则使得 PF1PF2 0 的 M 点的概率为（）22661A 3B3C 3D 2（文科） 如图所示，矩形长为6 ，宽为4，在矩形内随机的撒2400 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为516 颗，依据此实验数据可以估计出椭圆的面积约为 ()A.17.84B. 5.16C. 18.84D.6.1612已知函数 f ( x)x33x21， g(
5、x)x1, x04x，则方程 g f ( x) a0(a 0) 的解的x26x8, x0个数 不可能 是（）A 3 个B.4个C.5个D.6个第 卷非选择题（共90 分）二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分，把答案填写在答题纸相应的位置.）13 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为_ 14 已知ABC 面积 S 和三边 a, b, c 满足： Sa2(bc) 2 , b c 8 ，则ABC 面积 S 的最大值为_15 已知 ax2y21x2y21 的离心率，设b 0, e1 , e2 分别是圆锥曲线b2和b2a2a2m lg e1lg e2 ，则 m 的取值范围
6、是16. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表124357681012911131517141618202224设 aiji, jN是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j个数，如a5211 则a87三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共17（本小题满分 12 分）6 小题，共70 分）已知 an是正项数列，a11，且点 (an, an 1 ) （nN*）在函数yx21的图像上.（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）若列数 bn 满足 b11， bn 1bn2a n ，求证： bnbn 2bn2 1 .18.（本题满分12 分）如图，设四棱锥
7、 S ABCD 的底面为菱形，且 ABC 60 ， AB SC 2 ， SA SB 2 。（ 1）求证：平面 SAB 平面 ABCD ；（理科）（ 2）求平面ADS 与平面 ABS所夹角的余弦值（文科）（ 2）设 P 为 SD 的中点 ,求三棱锥 PSAC的体积19（本题满分12 分）为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动. 为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100 分）作为样本（样本容量为n ）进行统计 . 按照 50, 60) ， 60, 70) ， 70, 80) ， 80, 90) ， 90,100 的分组作
8、出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50, 60) ， 90,100 的数据）频率组距0.040512345678x60.016780.010934yO50 60 70 8090 100 成绩（分）（ 1）求样本容量 n 和频率分布直方图中的x 、 y 的值；（理科）（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80 分以上（含80 分）的学生中随机抽取3 名学生参加“中国汉字听写大会” ，设随机变量 X 表示所抽取的3 名学生中得分在80, 90) 内的学生人数， 求随机变量 X 的分布列及数学期望（文科）（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80 分以上（含80 分）的学生中随机抽
9、取2 名学生参加“中国汉字听写大会” ，求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在90,100内的概率20. （本题满分12 分）如图，椭圆C ： x2y21( a b0) 的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且a2b2| AB |5 | BF |.y2B（ 1）求椭圆 C 的离心率；x（ 2）若斜率为2 的直线 l 过点 (0, 2) ，且 l交椭圆 C 于OFAP 、 Q 两点， OP OQ . 求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程 .21（本题满分 12 分）已知函数 f ( x) exx2a ， x R 的图像在点 x 0 处的切线为 y bx （ e7182.） .（ 1）求函
10、数 f ( x) 的解析式；（理科）（ 2）若 k Z ，且 f ( x)1 (3x 25x 2k) 0 对任意 xR 恒成立，求 k 的最大值 .2（文科）（ 2）若f ( x)kx 对任意的 x(0,) 恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在第22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。22 (本小题满分10 分 )选修4 1：几何证明选讲如图，直线BE 交圆于点D.AB为圆的切线，切点为B，点C 在圆上，ABC的角平分线BE 交圆于点E， DB垂直(1) 证明： DB DC ；(2) 设圆的半径为1， BC3 ，延长CE交AB 于点F，求BCF外
11、接圆的半径23 (本小题满分10 分 )选修4 4：坐标系与参数方程x45cos t,x 轴的正半轴为极轴建立已知曲线 C1 的参数方程为5(t 为参数 )，以坐标原点为极点，y5sin t极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2sin .(1) 把 C1 的参数方程化为极坐标方程；(2) 求 C1 与 C2 交点的极坐标 ( 0,0 2)24 (本小题满分10 分 )选修 4 5：不等式选讲已知函数 f( x) |2x1| |2x a|， g(x) x 3.(1)当 a 2 时，求不等式f(x) g(x)的解集；(2)设 a 1，且当 xa ,1 时， f(x)g(x)，求 a 的取值范围22
12、陕西省西安市长安区第一中学2015 年高三上学期第三次模拟考试数学试卷答案第卷（ 共 60 分）一 ：本大 共12 小 ，每小 5 分，共 60 分在每小 出的四个 中，只有一 是符合 目要求的1. A 2.D 3C 4 C 5.B 6A 7. A 8. B 9D 10 D 11 C 12 A第卷（非 共 90 分）二填空 ：本大 共4 小 ，每小 5 分，共 25分将答案填写在 中的横 上 2 ；1464 ；15（， ）；38；1317-016.3三解答 ：本大 共6 小 ，共70 分解答 写出文字 明、 明 程或演算步 17（本小 分12 分）解：（）由已知得 an 1an1，即 an 1
13、an 1 ，又 a11 ，所以数列 an 是以 1 首 ，公差 1 的等差数列，故an 1 ( n 1) 1 n . 4 分（）由（）知： ann，从而 bn 1bn 2n .bn (bn bn 1 ) (bn 1bn 2 )(b2b1 ) b1n122n 12n 2212n1. 8 分因 bnbn 2bn2 1 (2 n1)(2n 21) (2 n 11)222n 25 2n1 22 n 24 2n 12n0 bn bn 2bn21 . 12 分18. （本 分 12 分）（ 1） 明： 接AC ，取 AB 的中点 E ， 接 SE 、EC，SASB2 ，SEAB ， AB2 ，SE 1 ，
14、又四棱 SABCD 的底面 菱形, 且ABC60 ，ABC 是是等 三角形，AB2CE3， 又 SC2，SC2CE 2SE2，SEEC，SE面ABCDEC , EB, ES 为 x 、 y 、 z 的正半 建立建立空 直角坐 系。（理科）（ 2）由（）知，分 以则 面ABS 的 一个 法 向 量 m(1,0,0)， A(0,1,0) ，S(0,0,1)， D (3,2,0)，AD(3,1,0), AS(0,1,1) ， 面ADS 的法向量n(x, y, z)， ADn3xy0 ，AS nyz 0 ，令 y3， x 1, z3，由 n(1,3, 3)， 平面 ADS 与平面 ABS所 角的大小
15、， m n17cos177m n（文科）（） VP SAC =VS PAC =VS DAC - VP DAC =1 VSDAC =113 22 132234619（本小 分12 分）解：（ 1）由 意可知， 本容量850 ，y20.004 ，n10100.01650x 0.100 0.004 0.010 0.016 0.040 0.030 . 4 分（理科）（ 2）由 意可知，分数在80, 90) 内的学生有5 人，分数在 90,100内的学生有2 人，共 7 人 . 抽取的 3 名学生中得分在80, 90) 的人数 X 的可能取 1， 2， 3， C51C225 1C52 C2120 4C5
16、3 C2010 2P( X 1)， P( X 2)C73， P( X3).C7335 735 7C7335 7所以 X 的分布列 X123P14277710 分12421512 分所以 EX 173. 777（文科）（ 2）由 意可知，分数在80, 90)内的学生有5 人， 5 人分 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 ，分数在 90,100 内的学生有2 人， 2 人分 b1， b2 .抽取的 2 名学生的所有情况有21 种，分 ：（ a1 ， a2 ），（ a1 ， a3 ），（ a1 ， a4 ），（ a1 ， a5 ），（ a1 ， b1 ），（ a1 ， b2 ），（ a2
17、 ， a3 ），（ a2 ， a4 ），（ a2 ， a5 ），（ a2 ， b1 ），（ a2 ， b2 ），（ a3 ， a4 ），（ a3 ， a5 ），（ a3 ， b1 ），（ a3 ， b2 ），（ a4 ， a5 ），（ a4 ， b1 ），（ a4 ， b2 ），（ a5 ， b1 ），（ a5 ， b2 ），（ b1 ， b2 ）.8 分其中 2 名同学的分数都不在90,100 内的情况有10 种，分 ：（ a1 ， a2 ），（ a1 ， a3 ），（ a1 ， a4 ），（ a1 ， a5 ），（ a2 ， a3 ），（ a2 ， a4 ），（ a2 ， a5 ），（ a
18、3 ， a4 ），（ a3 ， a5 ），（ a4 ， a5 ）. 所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在90,100 内的概率 P 1 1011. 12 分20（本小 分 12 分）2121解：（ 1）由已知 | AB |5 | BF | ，2即a2b25 a ， 4a24b25a2 ，24a24(a2c2 )5a2 ，ec3. 4 分a2（ 2）由（）知 a24b2 ， 椭圆 C ： x2y21 .4b2b2设 P ( x1 , y1 ) ， Q ( x2 , y2 ) ，直 l 的方程 y 22( x 0)，即 2x y2 0 .2xy 20由 x2y2x24(2 x2)24b20 ，4
19、b2b21即 17x2 32x 16 4b2 0 .3221617(b24)0217. x132， x1 x2164b2. 8 分b17x21717 OPOQ ，OP OQ0 ，即 x1 x2y1 y20 ， x1 x2(2 x12)(2x22)0 ， 5x1 x24(x1x2 )4 0.从而5(16 4b2 ) 1284 0 ，解得 b1，1717 椭圆 C 的方程 x2y21. 12 分421. （本 分 12 分）解：（ 1） f ( x)exx2a ， f( x)ex2x .由已知f (0)1a0a1 ，f ( x)exx21. 4 分f (0)1bb1（理科）（ 2） f (x)1(
20、3 x25x2k )0 任意 xR 恒成立，2ex1x25x1k0 任意 xR 恒成立，22kex1x25x1 任意 xR 恒成立 .6 分22令 h(x)ex1 x25 x 1 ， h ( x) exx2233152，易知 h ( x) 在 R 上 增，1又 h (0)0 ， h (1) e0 ， h ()222e220 ，333h ( 3) e472.56471.62751272710 ，4444125444 存在唯一的 x0( 1 , 3) ，使得 h ( x0 )0 ，8 分24且当 x (, x0 ) ， h ( x)0 ， x ( x0 ,) ， h ( x) 0 .即 h(x)
21、在 (, x0 ) 减，在 ( x0 ,) 上 增，h(x)minh( x0 )ex01 x025 x01 ，又 h ( x0 )0 ，即 ex0x050， ex05x0 .2222512512h( x0 )2x02 x02 x012( x07x03) ， x0( 1 , 3) ， h(x0 )(27 ,1). kex1 x25 x1 任意 xR 恒成立，2432822kh( x0 ) ，又 kZ ， kmax1. 12 分（ 文 科 ）（ 2 ）f ( x) kx对 任 意 的x ( 0,恒 成 立f ( x)对 任 意 的恒 成 立 ， 令)kxx( 0,)g (x)f ( x) , x0
22、 ，x g ( x)xf(x)f ( x)x(ex2x)( exx21)( x1)(exx1) .x2x2x2易 ：当 x (0,) ， exx10 恒成立，8 分令 g ( x)0 ，得 x1 ； g ( x) 0 ，得 0 x1. g( x) 的增区 (1,) ，减区 (0,1).g (x)ming(1)0 . kg( x) ming (1)0 ， 数 k 的取 范 (, 0) . 12分22（本小 分10 分）(1) 明： 连结 DE ，交 BC 于点 G.由弦切角定理得，ABE BCE.而 ABE CBE，故 CBE BCE， BE CE.又因 DB BE，所以 DE 直径， DCE
23、90，由勾股定理可得DB DC .(2)解： 由 (1)知， CDE BDE ， DB DC ，故 DG 是 BC 的中垂 ，所以BG3.2设 DE 的中点 O， BO， BOG 60.从而 ABE BCE CBE 30，所以 CF BF ，故 Rt BCF 外接圆的半径等于3.223（本小题满分10 分）解： (1) 将x45cost, 消去参数 t，化为普通方程 ( x4)2 (y5)2 25，y55sin t即 C1： x2 y2 8x 10y16 0.xcos ,将sin代入 x2 y2 8x10y 160 得y2 8cos 10sin 16 0.所以 C1 的极坐标方程为2 8cos
24、 10sin 16 0.(2)C2 的普通方程为x2 y2 2y 0.由 x2y28x10 y 16 0,解得x 1,或x 0,x2y22 y 0y 1y 2.所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为2, ， 2, .4224（本小题满分10 分）解： (1) 当 a 2 时，不等式f(x) g(x)化为 |2x 1| |2x2| x 3 0.设函数 y |2x 1| |2x 2| x 3，5x, x1,2则 yx2, 1x 1,23x6, x1.其图像如图所示从图像可知，当且仅当x (0,2)时， y 0.所以原不等式的解集是 x|0 x 2 (2)当 xa,1 时， f(x)1 a.22不等式 f(x) g(x)化为 1 a x 3.所以 x a2对 xa ,1
