1、江西省宜春市上高二中2014 年高三上学期第二次月考数学（理）试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分. 满分 150 分，考试时间 120 分钟 .第卷一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集UR,集合Ax | 2ylogx, (CBU A) 1 Bx , )x , aa 则实数 a 的取值范围是 ( )A (,1)B(,1C(0,1)D (0,12. 函数 yln(1x)1 的定义域是（）x1xA. 1,0)(0,1)B. 1,0)(0,1C. (1,0)(0,1D. (1,0)(0,1)3.已
2、知 i 为虚数单位,若复数z 满足 z(i2)12i , 则 z 的共轭复数是()A iB i3i3 iC 5D 54.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；在线性回归分析中，相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱；已知随机变量服从正态分布N (5,1) ，且 P4(6) 6826,0.则P(6) 0.1587;某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人 .A
3、1B 2C 3D 45.已知锐角,满足：sincos1 , tantan3 tantan3 ，则,的大小6关系是（）A B C 4D.46.程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值是（）开始S 3n1n 2014是1Snn1S1S否输出 S结束11A 3B 2C 3D 27. 等 比 数 列 an 是 递 减 数 列 ， 其 前 n 项 积 为 Tn ， 若 T124T8 ， 则a8 a13( )A 1B 2C 1D 28. 已知在二项式 ( 3x2)n 的展开式中，仅有第9 项的二项式系数最大，x则展开式中，有理项的项数是()A.1B.2C.3D. 49. 已知函数 f (x)2xx2
4、 ，Q(1,0)，过点P(1,0)的直线 l 与 f (x) 的图像交于 A, B 两点，则 S QAB 的最大值为（）112yA. 1B. 2C.3D.210.如图，过原点的直线l 与圆 x2y21交于 P, Q 两点，点P 在第P一象限，将x 轴下方的图形沿x 轴折起，使之与x 轴上方的图形成oxQ直二面角，设点P 的横坐标为x ，线段PQ 的长度记为f ( x)，则函数yf ( x) 的图像大致是()yyyyoxoxoxoxABCD二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅记分，本题共5 分 .11（ 1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点(2
5、, ) 且垂直于6极轴的直线的极坐标方程是()A.3 sinB.3 cosC.sin3D.cos311（ 2）（不等式选讲选做题） ）若存在 xR, , 使 | 2xa |2 | 3 x |1成立 , 则实数 a 的取值范围是 ( )A.2,4B.(5,7)C. 5,7D.(,57, )第卷注意事项：第卷须用黑色签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效 .三、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共20 分 . 将答案填在题中的横线上 .12. 已知 a2,e 为单位向量，当a,e 的夹角为 2时， ae 在 a e 上的.3投影为13. 若一组数据 1,2,0, a,8,7,
6、6,5的中位数为 4 ，则直线 yax 与曲线 y x 2围成图形的面积为.14. 已 知 双 曲 线 C1 :x2y21 和 双 曲 线 C2 :y2x21 ， 其 中a2b2a2b2b a 0, ，且双曲 C1 与 C2 的交点在两坐 上的射影恰好是两双曲 的焦点， 双曲 C1 的离心率是.15. 于定 在 D 上的函数 f (x) ，若存在距离 d 的两条直 ykxm1和 y kxm2，使得 任意 x D 都有 kx m1f ( x) kxm2恒成立， 称函数f (x)( xD ) 有一个 度 d 的通道 . 出下列函数： f (x)1； f ( x)sin x ； f ( x)x21
7、； f ( x)ln xx1的函数有x其中在区 1,) 上通道 度可以 (写出所有正确的序号 ).四、解答 ：本大 共6小 ，共 75分 . 解答 写出文字 明、 明 程或演算步 .16（本小 分 12 分）如 ， P1 ， P2 ， P6 位 上逆 均匀分布的六个点 从 六个点中任 其中三个不同点构成一个三角形， 三角形的面 随P4机 量 S （ 1）求3P5P3的概率；2S（ 2）求 S 的分布列及数学期望E(S) P6OP2P117.( 本小 分12 分）在 ABC 中， 2sin 2 A cos Asin 3A 3 cos A3 .(1) 求角 A 的大小；(2)已知 a,b, c 分
8、别是内角 A, B, C 的对边，若 a1 且sin A sin( B C ) 2sin 2C,求 ABC 的面积 .18（本小 分12 分）若数列 an的前 n 项和为 Sn ，对任意正整数n 都有 6Sn 1 2an .（ 1）求数列an的通项公式；（ 2）若 c10, 且对任意正整数 n 都有 cn 1cnlog 1an ,2求证：对任意n 2, n N * 都有1113c2c3cn4 .19（本小题满分12 分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，AD2, AB1 ，ABC60 ，PA面 ABCD ，设（ 1）求证： BE / 平面E 为 PCACF ；中点，点F 在线段
9、PD 上且PF2FD（ 2）设二面角ACFD 的大小为，若 | cos |42，14求 PA 的长20.（本小题满分13 分）已知椭圆 C : x2y21 a b 0 的左焦点 F 与抛物线 y24x 的a2b2焦点重合，直线2Oe为x y0与以原点,2为圆心 以椭圆的离心率半径的圆相切 .（ 1）求该椭圆 C 的方程；（ 2）过点 F 的直线交椭圆于A, B 两点，线段AB 的中点为 G ， AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D , E 两点记GFD 的面积为 S ，OED1的面积为 S2 试问：是否存在直线AB ，使得 S1S2 ？说明理由21（本小题满分14 分）已知函数( x
10、a) 2f ( x)（其中 a 为常数） .ln x(1) 当 a 0 时，求函数的单调区间；（ 2）当 a1 时，对于任意大于1的实数x ，恒有f ( x)k 成立，求实数k的取值范围；(3) 当 0a1 时 ， 设 函 数f ( x)的3个 极 值 点 为x1， x2， x3， 且x1x2x3 .2求证： x1x3 e数学 ( 理) 答案一、选择题：1.B 【解析】A(,1),CU A1,), 当 a0 时 , B, 满足题意 ,当 a0时,B(a, a), a1,综上得 a1.1x02.D【解析】定义域应满足x10，解得1x 0或 0x 1.x03.12i12i1zi.A【解析】 z2i
11、 (12i )i ,ii4.B【解析】，期望改变，方差不变，所以错；，相关系数| r | 越小，表 明 两 个 变 量 相 关 性 越 弱 ， 错 ； ， 由 对 称 性 可 得P(6 )1( 1 0 . 6 8 2 6 ) 正 确 ； ， 样 本 容 量 为20 . 1 5 8 7 ,775015, 正确 .3505.B【解析】sincos,所以4，由t a tn a n 3 ta t n a n 3，则tan()tantan3，则.1tantan36. C 【 解 析 】 设每 次 运 行 所 得 S 的 值 依 次 记 为 ： S1 , S2 , S3 , Sn , 则S1 3, S22
12、, S31,311S4, S53, 周期 4,所以所求的 S 的值是 S2015S3.237. D【解析】由 T214T8 ，得 a9a10 a11a124 ，a8 a13a9 a122， an 是递减数列，a8 a132.8. C【解析】由题意，得n16 ，2 )r325rTr 1C16r ( 3 x )16 r ( 2) r C16r x 6, 当 32 5r52 5r为x66整数时， Tr1 为有理项，则 r4,10,16,有理项共有 3 项 .9. B【解析】函数可化为(x1)2y21( y0), 设圆心 (1,0)到直线 l 的距离为 d ,1| AB | d222(1 d 2 )
13、d 21S1 d d(1 d )d.22210. B【解析】设点 P 的坐标为 ( x, y), 由对称性，可得点 Q 的坐标为 ( x, y),分别过点 P, Q作 x 轴垂线，垂足分别为P1( x,0), Q1 ( x,0), 折成直二面角后，f (x)| PP |2| PQ |2| Q Q |21111y2(2x)2( y)24x22 y24x22(1 x2 )2 2x2 ,(0 x1), 图像是双曲线的一部分 .二、选做题：11（ 1） .D 【解析】由题意，得cos2cos，即cos3.6（2）.C【解析】| 2x a | 2 | 3 x | | 2x a | | 6 2x | |
14、2x a 6 2x | | a 6 | ，| a6 | 1, 5a7.三、填空题：12.37 【解析】 ae在 ae 上的投影为：7(a e) (a e)a2e24 13 7 .| a e |(a e) 24 1 2713.9 【解析】由中位数的定义可得a 54, a3 ，直线 yax 与22曲线 yx 232 )dx (3 x21 x3 )3围成图形的面积 S(3 x x00239.214. 5 1 【 解 析 】 由 题 意 , 可 得 两 双 曲 线 在 第 一 象 限 的 交 点 为2c2c21,(c ,c ) ,2b2ab2 c2a2c2a2b2 ,即(c2a2 )c2a2 c2a2
15、 (c2a2 ), e43e21 0, 解得e512.15 【解析】函数，在区间1,) 上的值域为(0,1 ，满足0f (x )1故该函数在区间 1,) 上的通道宽度可以为1；函数， 在区间1,) 上的值域为 1,1，通道宽度显然是2 ；函数，在区间1,) 上的图像是双曲线x2y21在第一象限的部分其渐近线方程是yx ，满足 x1f ( x)x，故f (x)x21 的通道宽度最小为2 ，当然可以是 1；函数，当 x1时， f ( x)ln x 的值域为 0, 1 ,21 ，故满足题意的有 .xe通道宽度最小为e四、解答题：16【解析】（ 1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C36 种不
16、同选法，其中 S3的为有一个角是 30 的直角三角形 （如 P1 P4 P5 ），共 6 2 122种，所以， PS3123 (4 分 )2C635（ 2） S 的所有可能取值为3 ，3 ， 33 424S3的为顶角是 120的等腰三角形（如P P P），共 6种，41 2 3所以，P S363(64C6310 分 )S3 3的为等边三角形（如P1P3 P5 ），共 2 种，4所以， P S3321 ，( 84C6310分 )又由（ 1）知 P S3123 ，2C635故 S 的分布列为：S3333424P33110510以E( S)333333193410254102017. 【解析】 (1
17、)2sin 2 Acos Asin 3A 3 cos A2sin 2Acos Asin(2 AA)3 cos Asin 2Acos Acos2 Asin A3 cos A( 10 分 )所,(12 分 )sin A3 cos A2sin( A)(3 分 )3又2sin 2 Acos Asin 3A3 cos A3 ,2sin( A)3,sin( A)3 ,332A(0,),A(,4),A2.(63, A33333分 )(2)sin Asin( BC )2sin 2C ,sin( BC )sin( BC )4sin C cosC ,2sin B cosC4sin C cosC, ,cosC0或
18、sin B2sin C ，(8 分)当 cosC0 时 , C,B, b a tan B3 ,263S ABC1 ab1133 ;2236(10 分)当 sin B2sin C 时 , 由正弦定理可得b 2c,又由余弦定理a2b2c22bc cos A,可得1 4c2c212c124c,23S ABC1 bc sin Ac2 sin A133 .2326综上，可得 S ABC3(126.分 )18【解析】 (1)当 n1时 , 6S112a1 ，即 6a1 112a1 ，解得 a1(2 分)8当 n 2 时 ， 6Sn1 2an6Sn 1 12an 1an1由 - ，化简得 an14 ，数列
19、an 是首项为1 ，公比为1 的等比数列，(4 分)84an1 ( 1)n 1( 1) 2n 1(6 分)842(2)cn 1 cn log 1an2n1(72分 )当 n2 时， cn(cncn 1) (cn 1 cn 2 )(c2c1 ) c1(2 n1) (2n3)30n21，(9 分)1(n11)1 (11)cn1)(n2 n1n1(10 分)1111111111111c2c3cn2(14 3 5)3 2n 2 n n 1 n 11 (1111 )31 ( 11 )3(1222n n 1 42 nn 1 4 .分 )19. 【证明】（ 1）由 AD2, AB1 ， ABC 60得 AC
20、3 ， ABAC ，(1 分)又 PA面 ABCD ，所以以 AB , AC , AP 分别为 x, y,z 轴建立坐标系如图则 A(0,0,0), B(1,0,0), C (0,3 ,0), D( 1,3 ,0),设 P (0,0, c) ，则 E ( 0,3,c ) 22设 F ( x , y, z) ， PF2FD，得( x , y, zc)2(1 x,3y,z）解得 x223c3， y， z，33所以 F (2 , 2 3 , c ) (3 分 )333所以 AF(2,2 3, c ) , AC(0,3,0) ， BE( 1,3, c) 3332222 3c0设 面 ACF的 法 向
21、量 为 n( x , y , z )， 则xyz333， 取y0n(c,0,2) 因为 n BEcc0，且 BE面 ACF ，所以 BE / 平面 ACF (6分 )（ 2 ） 设 面 P C D 法 向 量 为 m( x, y, z) ，因 为 PC(0, 3, c) ，PD ( 1,3,c) ，所以3 ycz0，取 m(0, c, 3) x3 y cz 0(9 分)由 | cos |n m42 ，得c 22342 n m144c 2314c47c2440，2，所以PA2.(12 分)c| 002 |120. 【解析】 (1)依题意，得 c1 , e22,2即 c1 ,a2,b1,a2所求椭
22、圆 C 的方程为x2y21.(5 分 )43(2)假设存在直线AB ，使得S1S2 ，显然直线 AB 不能与 x, y 轴垂直直线 AB 的斜率存在，设其方程为y k (x 1)将其代入 x2y21，整理得(4 k23)x28k 2x4k 212043设 A(x1, y1) ， B( x2, y2 )，x1x28k2,y1y26k,4k 234k 23(6 分 )4k23k3k) ,DGAB ，4k23k1，G(,4k 234k24k 23xD4k23解得xDk2， 即D (k2,0) (8 分 )4k234k 23 GFD OED ，| GF | DG | ,| GF | DG |(| DG |)2 ,| OE | OD | OE |OD |OD |即S1| DG | 2, 又S1S2 ,| GD | |OD | ,
