1、第十四章幂级数单选题 ： 1 设幂级数的收敛半径为R，则下列断语中正确的是（A）在上一致收敛。（B）在内某些点处非绝对收敛。（C）的收敛半径大于。（D）对任意的，在上一致收敛。 2。若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数(A) 在处发散；(B) 在处收敛；(C) 收敛区间为;(D) 当时发散。3幂级数级数的收敛域是(A)(B)(C)(D)4若幂级数的收敛半径为R,那么(A),(B),(C),(D)不一定存在.5如果能展开成的幂级数，那么该幂级数(A)是的 麦 克 劳 林 级 数 ；(B) 不 一 定是的麦克劳林级数；(C) 不是的麦克劳林级数；(D)是在点处的泰勒级数。6.如果, 则幂级数(A)
2、 当时 , 收敛；(B)当时 ,收敛；(C)当时 , 发散；(D)当时 , 发散7. 设级数在处是收敛的，则此级数在处(A)发散；(B) 绝对收敛；(C) 条件收敛；(D)不能确定敛散性。8 幂级数在其收敛区间的两个端点处A全是发散的 .B.全是收敛的C.左端点发散,右端点收敛.D左端点收敛 ,右端点发散9.函数展开成的幂级数的方法是.10.幂级数的收敛域为答案 :1 10DDBDAADDDA填空题 ：1.若幂级数在内收敛 ,则应满足 _.2.设幂级数的收敛半径为2,则级数的收敛区间为 _.3. 级数的和函数为 _.4.设是一等差数列,则幂级数收敛域是 _.5.与有相同的 _.6.的幂级数展开
3、式 _.7. 幂级数只有在 _区间内才有和函数 .8. 经过逐项微分或逐项积分后幂级数_不变 .9.的幂级数表达式_.10. 级数在区间 _ 收敛.答案：1.4. ( -1, 1)5.收敛区间 .6.7.收敛.8.收敛半径.9.计算题1.求幂级数的收敛域及和函数 .2.求幂级数的收敛域及和函数 .3. 求幂级数的收敛半径与收敛域( 1)4.将函数展开为 的幂级数 ,并指出收敛域 .5.求函数在 x=1 处泰勒展开式 .6.设幂级数当时有且求该幂级数的函数 .7.将展成x 的幂级数 .8.求幂级数的和函数 .9.试求幂级数的收敛区域及和函数10.设，确定的连续区间，并求积分的值答案 :1.解因且
4、当时级数都发散,故该级数的收敛域为( -1, 1 ),令,则,.2.解 :收 敛 半 径,当时 ,原 级 数 发散,故原级数的收敛域为( -1, 1 ).设其和函数为,3. ( 1 )解记,由于,故收敛半径R=1,收敛区间为( -1, 1 )当时 ,由于,故级数发散 ,所以该级数的收敛域为( -1,1 ) .( 2 )解记因为所以收敛半径R=1,收敛域为 -1, 1 .4. 解而而 级 数与的 收 敛 域 都 是-1,1,故当时5.解因.6.设和函数则即.解上述关于的二阶微分方程 ,得.7. 解易看出,而两边求导,得.8.级数的和函数为9.由于级数在上收敛，所以当时，有10.因为幂级数的收敛域
5、是，所以在上的连续，且可逐项积分。.证明题 ：1.设在内收敛 ,若也收敛 ,则.2.设 f 为幂级数在( -R, R )上的和函数 ,若 f 为奇函数 , 则原级数仅出现奇次幂的项 , 若 f 为偶函数 , 则原级数仅出现偶次幂的项 .3.设函数定义在 0, 1上 ,证明它在(0, 1 )满足下述方程 :4.设证 明当时 ,级数收敛 .5.设幂级数，的收敛半径分别为，设，证明：当时，幂级数绝对收敛。6.设，求证：其中7.设，。证明：当时，满足方程。敛,8.则级数若幂级数在 0, R (的收敛半径为R(0),且在或-R, 0 )上一致收敛.( 或时收9.设函数,有在区间内的各阶导数一致有界,证明
6、 :对, 即存在正数内任一点M,与对一切有.答案 :10.证明 :1.证明 :因为当满足方程.收敛 ,有又 当时 ,收 敛,从 而 可 知在左连续 , 于是.2.,当为奇函数时 ,有,从而,这时必有当为偶函数时,有.此式当且仅当.3. 证明 :设则.所以故. 0x1.4. 因为所以,取极限得到,从而级数的收敛半径故时 ,级数收敛 .5.对于任意，由于，所以，绝对收敛。又所以绝对收敛。6.时,，故从而7.由于，幂级数的收敛半径是1，所以当时，可微，且故程。即8.证明 :设级数在满时收敛 ,对于足有方=已知级数收敛 ,函数列在上递减且一致有界,即由阿贝耳判别法知9.证 :,对级数在上一致收敛由于.,所以.10. 证 :因幂级数的收敛区间为, 它可以在内逐项微分任意次, 从而,将代入有.
