1、高二数学综合练习二姓名学号1已知数列 2,10,4,2(3n1) ，则 8 是此数列的第项：yx,2、已知 z2xy，式中变量 x ，y 满足约束条件xy1, ，则 z 的最大值为 _.x2,3、 ABC 的内角 A、 B、C 的对边分别为 a、 b、 c，若 a、b、c 成等比数列，且c2a ，则cosB _4 、 在 等 差 数 列 a 中 ， 若 a1a4a739, a2a5a8 33, 则 a3 a6a9的 值 为n_5、已知 x, y, zR ， x2y3z 0，则 y2的最小值xz6、数列an 的首项为3，n为等差数列且bnan 1an (nN *)，若则 b32 ，bb10 12
2、 ，则 a8；7、设 Sn 为等差数列 a的前 n 项和，若 a11，公差 d2，Sk 2Sk24 ，则 k；n8、数列 a 的前 n 项和为 S ，若 a =1， an+1=3S （ n 1），则 a =nn1n69已知方程 ( x22xm)( x22xn)0 的四个根组成一个首项为1 的等差数列，则4m n 等于10若直线 axy10与连结 A(2,3), B( 3,2)两点的线段 AB 相交，则实数 a 的取值范围是.11. 若不等式 3- 4 的解集中的整数有且仅有1， 2， 3，则b的取值范围xb12.已知函数 f ( x)x21,x0 ,则满足不等式 f (1x2 ) f (2 x
3、) 的 x 的范围是 _。1,x013. 若 存 在 a 1，3, 使 得 不 等 式 ax 2 +(a-2)x-20 成 立 ， 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是_ .14、设 1a1a2a7 ，其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列，a2 , a4 , a6 成公差为 1 的等差数列，则q 的最小值是 _ _115. 已知 f(x) x2 x k， k Z ，若方程 f(x) 2 在 1，23 上有两个不相等的实数根(1) 确定 k 的值；f x 2 4x 值(2) 求的最小值及对应的f x16、等比数列an的各项均为正数，且2a1 3a2 1,a329a
4、2 a6 .（1）求数列an的通项公式 .（2）设 bnlog 3 a1 log 3 a2 .log3 an , 求数列1的前项和 .bn217、已知（）当（）当数列 an 是以 a 为首项， q 为公比的等比数列，Sn 为它的前 n 项和S1 、 S3 、 S4 成等差数列时，求 q 的值；Sm 、 Sn 、 Sl 成等差数列时，求证：对任意自然数k， am k 、 an k 、 al k 也成等差18. 等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn， a1 1 2， S3 93 2.(1) 求数列 a n 的通项 an 与前 n 项和 Sn；Sn* )，求证：数列 b n 中任意不同的三项都不
5、可能成为等比数列(2) 设 b n n (n N319如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出设箱体的长度为反比现有制箱材料量分数最小 (A 、 Ba m，高度为 b m已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b 的乘积成60 平方米问当 a，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质孔的面积忽略不计 )20.已知数列 an 与 bn 满足bn1anbn an 1( 2)n1,bn3 (1)n 1, nN * , 且a1 2.2（）求 a2,a3 的值； （）设 cna2n 1a2 n 1 , nN * ，证明 cn 是等比
6、数列；S1S2LS2n 1S2nn1*).（）设 Sn 为 an 的前 n 项和，证明a2a2n 1a2n(nNa1341已知数列2,10,4,2(3n1) ，则 8 是此数列的第项：11yx,2、已知 z2x y，式中变量 x ， 满足约束条件x y 1,，则 z 的最大值为 _5_.yx2,3、ABC 的内角 A、 B、C 的对边分别为a、 b、 c，若 a、b、c 成等比数列，且 c2a ，则cosB _33、44 、 在 等 差 数 列 an 中 ， 若 a1a4a739, a2 a5a8 33, 则 a3a6a9的 值 为_4、 275、已知 x, y, z R， x2y3z0，则
7、y2的最小值3xz6、数列 an 的首项为 3， bn为等差数列且bnan 1an (nN *)，若则 b32 ，b1012 ，则 a8；解析：由已知知 bn2n8, an 1an2n8,由叠加法(a2a1 ) (a3 a2 ) L(a8a7 )642 0 2 4 6 0a8a137 、设Sn 为等差数列an的前n 项和，若 a11，公差 d 2 ， Sk 2Sk24 ，则 k8 ；8、数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1=1， an+1 =3Sn（ n 1），则 a6=5解析：由 an +1nnn 1n+1nnn 1nn+1n=3S，得 a=3S （ n 2），相减得a a =3(
8、 SS)= 3a，则 a =4 a（ n 2），a1=1 ，a2=3，则 a6= a2 44=344，9已知方程 ( x22xm)( x22x n) 0的四个根组成一个首项为1 的等差数列，则41m n 等于210若直线 axy10与连结 A(2,3), B( 3,2) 两点的线段AB 相交，则实数a 的取值范围是.10.a2或 a111. 若不等式 3- 4 的解集中的整数有且仅有1， 2， 3，则b的取值范围（ 5， 7）x b12.已知函数 f ( x)x21,x0 ,则满足不等式 f (1x2 )f (2 x) 的 x 的范围是 _。1,x0 解析 考查分段函数的单调性。1x22x1)
9、1x2x ( 1, 2013. 若 存 在 a 1，3, 使 得 不 等 式 ax 2 +(a-2)x-20 成 立 ， 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是_ .13.x1或 x2314、设 1a1a2a7 ，其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列， a2 , a4 , a6 成公差为 1 的等差数列，则q 的最小值是 _ _解析 ：由题意：1 a1a2a1qa2 1a1q2a22 a1q3 ，a2qa21,a21q2a22q322 3，而Q a21,a1 1,a2 , a21,a22的最小值分别为1 2 3qmin33。a，；15. 已知 f(x) x2 x
10、k， k Z ，若方程 f(x) 2 在 1，23 上有两个不相等的实数根(1) 确定 k 的值；f x 2 4x 值(2) 求的最小值及对应的f x解：(1) 设 g(x) f(x) 2 x2 x k 2，由题设有35 1359g 1 k 0， g 2 k4 0， 9 4k 0， 2 1，24 k4，又 k Z ， k 2.(2) k 2， f(x) x2x 2 x12 2 74 0，6 f x 2 4f(x) 4 2f x 4 4，f xf xf x当且仅当 f(x) 4 ，即 f(x) 2 4 时取等号f x f(x) 0， f(x) 2 时取等号即 x2 x2 2，解得 x 0 或 1
11、.当 x0 或 1 时， f x 2 4取最小值4.f x16、等比数列an 的各项均为正数，且2a13a21,a329a2 a6 .（1）求数列an 的通项公式 .（2）设bnlog 3a1log 3 a2. log3 an , 求数列1的前项和 .bn解：（）设数列 a n 的公比为 q，由 a329a2a6 得 a339a42 所以 q21。有条件可知 a0,9故 q1。由 2a13a2 1 得 2a13a2 q1 ，所以 a11。故数列 a n 的通项式为 an= 1 。33n3（） bnlog1 a1log1 a1.log1 a1(1 2 .n)n( n1)故 122( 11)2bn
12、n( n 1)nn 111.12(11 )( 11) .( 11)2nb1b2bn22 3n n 1n 1所以数列 1 的前 n 项和为2nbnn 117、已知 an 是以 a 为首项， q 为公比的等比数列，Sn 为它的前 n 项和（）当 S1 、 S3 、 S4 成等差数列时，求q 的值；（）当 Sm 、 Sn 、 Sl 成等差数列时，求证：对任意自然数k， amk 、 ank 、 al k 也成等差数列解：（）由已知，anaq n 1 ，因此 S1a ， S3 a (1 qq2 ) ， S4a (1qq2q3 ) 当 S1 、 S3 、 S4 成等差数列时，S1S42S3 ，可得 aq3
13、aqaq2 化简得 q 2q10 解得 q15 2（）若 q1 ，则 an 的每项 ana ，此时 am k 、 ank 、 alk 显然成等差数列若 q 1 ， 由 Sm、Sn、 Sl成 等 差 数 列 可 得SmSl2Sn ， 即a( qm1)a(ql1)2a( qn1) q1q1q1整理得 q mql2qn 因此， am kalk aqk1 (q mq l )2aq n k 12ank 7所以， am k 、 an k 、 al k 也成等差数列18. 等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn， a1 1 2， S3 93 2.(1) 求数列 a n 的通项 an 与前 n 项和 Sn；
14、Sn* )，求证：数列 b n 中任意不同的三项都不可能成为等比数列(2) 设 b n n (n N解： (1)a 1 2 1， d 2 ，由已知得3a1 3d 9 32 ，故 a n 2n 1 2 ， Sn n(n 2) (2) 由 (1)得 b n Sn n 2. 假设数列 b n 中存在三项 b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等 )n成等比数列，则22 (p 2)(r 2) b q b p b r，即 (q 2)q 2 pr 0 ， (q 2 pr) (2q p r)2 0, p ，q ， r N * ，2q p r 0，p r2 pr, (p r) 2 0, p r.
15、这与 p r 矛盾2故数列 b n 中任意不同的三项都不可能成为等比数列19如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流8出设箱体的长度为a m，高度为 b m已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b 的乘积成反比现有制箱材料 60 平方米问当 a，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 (A 、 B 孔的面积忽略不计 )解： (解法 1)设 y 为流出的水中杂质的质量分数，则y k/ab，其中 k 为比例系数且k0，依题意，即所求的a，b 值使 y 值最小 . 根据题设，有4b2ab 2a60(a0，b0) ，得
16、 b (30 a)/(2 a) (0a0， b0) ，即 a 2b ab 30(a0， b0). a2b 2 2ab， 2 2ab ab30, 当且仅当 a 2b 时，上式取等号 . 由 a0，b0 ，解得 0ab18.即当 a 2b 时， ab 取得最大值，其最大值为 18. 2b2 18.解得 b 3， a 6. 故当 a 为 6 米， b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小20.已知数列 an 与 bn 满足bn 1anbn an 1( 2)n1,bn3(1)n 1, nN * , 且a12.2（）求 a2 ,a3 的值； （）设 cna2n 1a2 n1 , nN *
17、 ，证明 cn 是等比数列；S1S2S2n 1S2n1*).（）设 Sn 为 an 的前 n 项和，证明a2La2nn(nNa1a2n 13n1为奇数,（）解：由 bn3(1), nN *，可得 bn2, n2为偶数 ,1,n又 bn 1 an bn an 12n1 ，当 n1时 ,a12a21,由a12,可得 a23 ;2当 n2时, 2a2a35,可得 a38.（）证明：对任意nN *9a2 n 12a2n22n 112a2 na2n 122n1 -，得 a2 n 1a2n13 22n 1, 即 cn3 22n 1 ,于是 cn 14cn所以 cn 是等比数列。（）证明：a12 ，由（）知
18、，当kN * 且 k 2 时，a2 k 1a1(a3a1 ) (a5a3 ) (a7a5 ) L( a2k 1a2 k 3 )23(22325L22k 3 )232(14k 1 )22 k114故对任意 kN* , a2 k 122k1.由得 2 2 k12a2 k22k 11,所以 a2 k122 k 1 , kN*2k .因此， S2k(a1a2 )( a3a4 )L(a2 k1a2k )k 12于是， S2k1S2ka2k22k 1.2故k12 k 1kS2 k 1S2k222k 1 22kk11k1).a2 k 1a2 k22 k 112 k 122 k22 k14k4k (4k22对于 n=1，不等式显然成立 .所以，对任意 nN * ,S1S2LS2n1S2na1a2a2na2n1( S1S2 )( S3S4 ) L( S2 n 1S2 n )a1a2a3a4a2 n 1a2 n(1 1 1 ) (114221) L(11n1)4 1242(4 24n(4 nn (11 ) ( 12) L( 1n)4 124242 (4 21)4n4n (4 n1)10111n (12) n .4311
