1、第 8-9 章 平面弯曲主要知识点：（1）平面弯曲的概念；（2）平面弯曲内力剪力和弯矩；（3）剪力图和弯矩图；平面弯曲内力剪力和弯矩1. 计算下图所示各梁 1、 2、3、4 截面上的剪力和弯矩。解： a)（ 1）考虑整体平衡，可解A、 D 支座反力n0,1 3 12 kN m5 2kN mFD 3 0M A ( Fi )i 12得FD3.83kNniFiy 0,FA 3 1kN5kN FD01得FA4.17kN（2）计算截面1 处的剪力和弯矩假想截面在1 处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。nFiy0,FA3 1kNFQ10i 1得FQ11.17kNn1 3 12 kN m
2、 FQ 1 1 M 1 0M A (Fi ) 0,i 12得M 12.67kN m(3) 计算截面 2 处的剪力和弯矩假想截面2 在处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。nFiy 0,FA3 1kN FQ 2 0i 1得FQ 21.17kNnM A (Fi ) 0,13 12 kN m FQ2 1 M 2 0i12得M 22.67 kNm(4) 计算截面 3 处的剪力和弯矩假想截面在3 处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。niFiy 0,FQ35kNFD01得FQ 31.17kNnM C (Fi ) 0,M 3FD1 0i 1得M 33.83kNm(5)
3、计算截面 4 处的剪力和弯矩假想截面在4 处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。nFiy0,FQ 4FD0i1得FQ 43.83kNnM C ( Fi ) 0,M 4FD1 0i 1得M 43.83kNm将上述结果列表如下：截面1234剪力（ kN）1.171.171.17-3.83弯矩 ( kN m )2.672.673.833.83b) （ 1）考虑整体平衡，可解 A、 C 支座反力n4kN mFC42 14.5kN m 0M A ( Fi ) 0,i 1得FC1.25kNn0,FAFC21kN0Fiyi 1得FA0.75kN（2）计算截面1 处的剪力和弯矩假想截面在1
4、处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。nFA FQ1 0Fiy0,i 1得FQ10.75kNnM A ( Fi ) 0,FQ1 2 M 1 0i 1得M 11.5kNm(3) 计算截面 2 处的剪力和弯矩假想截面2 在处把梁截开，考虑左段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。nFiy0,FAFQ2 0i 1得FQ20.75kNnM A (Fi )0,FQ224kN m M 2 0i 1得M 22.5kNm(4) 计算截面 3 处的剪力和弯矩假想截面在3 处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。nFiy0,FQ3FC 2 1kN 0i 1得FQ 30.75kNn1
5、 2 12 kN m 0M C ( Fi ) 0,M 3i 12得M 31kNm(5) 计算截面 4 处的剪力和弯矩假想截面在4 处把梁截开，考虑右段梁，截面处的剪力和弯矩按正方向假设。得得将上述结果列表如下：截面剪力（ kN）弯矩 ( kNm )nFiy 0,FQ 42 1kN 0i 1FQ 42kNn1 2 12 kN m 0M C ( Fi ) 0,M 4i 12M 41kNm12340.750.750.7521.5-2.5-1-1剪力图和弯矩图2. 建立图示梁的剪力方程和弯矩方程，并画剪力图和弯矩图。（ a）（ b）解： a) （1）求支座反力nM A (F i )0i 1MFBlM0
6、FBlnM B (Fi )0i 1FAlM0FAMl（ 2）求剪力方程和弯矩方程（分段建立方程）AC段FQ ( x)FAM(0x a)lM (x) FAxM x(0 x a)lCB段FQ (x)FAM(axl )lM (x) FB (lx)M (l x)(a x l )FQ ( x)M(0xl )llM x(0xa)M (x)lMl(lx)(axl )（ 3）作剪力图和弯矩图弯矩图是两斜直线，在C截面处有突变，突变量为M。b) （ 1）求支座反力由整体平衡方程（见图8-2b ）：nFB 2 10 3kN m 0 ， FB 15kNM A (Fi ) 0 ，i 1nM B (Fi )0 ，FA2
7、101kNm0 ，FA5kNi 1（ 2）求剪力方程和弯矩方程梁上任取一截面 ( 见图 8-2b) ，到支座 A 的距离为 x，由截面法得该截面的剪力方程和弯矩方程AB段： FQ ( x)5kNBC段：FQ (x)10kN， M ( x)5x ， （ 0 x 2m ）， M ( x)10（3 x），即 M ( x) 10 x30 ，（ 2mx 3m ）图 8-2b（ 3）作剪力图和弯矩图： AB、 BC段剪力都为常数，剪力图各为一水平直线。AB、 BC段弯矩方程是x 的一次函数，弯矩图各为一斜直线。两点可以确定一条直线，当 x 0 时，M (0) 0 ；当 x2m 时， M (2)10kN m
8、 ；当 x 3m 时， M (3)0 ，连A、 B 两点可得AB段弯矩图，连B、 C两点可得 BC段弯矩图，如图 8-2b 所示。3. 剪力和弯矩的正负号如何确定？梁在集中力、集中力偶及均布载荷作用下的剪力图和弯矩图有何特点？答： 在计算内力时，为了使考虑左段梁平衡与考虑右段梁平衡的结果一致，对剪力和弯矩的正负号作以下规定：剪力：使截面绕其内侧任一点有顺时针转趋势的剪力为正，反之为负。弯矩：使受弯杆件下侧纤维受拉为正，使受弯杆件上侧纤维受拉为负。或者使受弯杆件向下凸时为正，反之为负。(1) 当梁上有集中力作用时，剪力图在集中力作用处有突变，突变量是集中力的大小；弯矩图在集中力作用处产生尖角。(
9、2) 当梁上有集中力偶作用时，剪力图在集中力偶作用处不变；弯矩图在集中力偶作用处有突变，突变量是集中力偶的大小。（ 3）梁的某一段内有均布载荷作用，则剪力FQ ( x) 是 x 的一次函数，弯矩M (x) 是 x 的二次函数。剪力图为斜直线；若 q(x) 为正值，斜线向上倾斜；若 q(x ) 负值，斜线向下倾斜。弯矩图为二次抛物线，当 q( x) 为正值，弯矩图为凹曲线；当 q(x) 为负值，弯矩图为凸曲线。4. 什么是剪力、弯矩和载荷集度的微分关系？如何利用微分关系作梁的剪力图和弯矩图？答： 载荷集度 q( x ) 、剪力 FQ ( x) 和弯矩 M (x ) 之间的微分关系如下：dFQ (
10、 x)dxq( x)dM ( x)d2 M (x)q( x)FQ (x)dx 2dx利用微分关系作梁的剪力图和弯矩图：1. 无分布载荷作用的梁段（ q=0）dFQ (x)而 dM (x)FQ ( x) 为常数，由于0 ，因此 FQ ( x) =常数，即剪力图为水平直线。dxdxM ( x) 是 x 的一次函数，即弯矩图为斜直线，其斜率由FQ (x) 值确定。(1) 当梁上仅有集中力作用时，剪力图在集中力作用处有突变，突变量是集中力的大小；弯矩图在集中力作用处产生尖角。(2) 当梁上仅有集中力偶作用时，剪力图在集中力偶作用处不变；弯矩图在集中力偶作用处有突变，突变量是集中力偶的大小。2. 均布载
11、荷作用的梁段（q( x) 为常数）dFQ ( x)(x) 是 x 的一次函数， M(x)是 x 的二次函数，所由于 q( x) q ，因此q ，即 FQdx以剪力图为斜直线，其斜率由q 确定；弯矩图为二次抛物线。2当分布载荷向上（即q0）时， d M (x) q 0，弯矩图为凹曲线；反之，当分布载荷向 d 2 x下（即 q0）时， d 2 M (x)q 2a）。图 8-56. 利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系作图示各梁的剪力图和弯矩图。解： a) （1）求支座反力由整体平衡方程（见图8-6a ）：nFA qa qa 0 ，FA2qaFiy 0 ，i 1n0 ， M A3.5qa 2M A (
12、Fi ) 0 ，M A qa a qa 2.5ai 1图 8-6a（ 2）作剪力图AC段剪力图是水平线，大小为确定两个控制点FQDqa ， FQB2qa， CD段剪力图也是水平线，大小为0，作剪力图如图8-6a 所示。qa， DB是斜直线，（ 3）作弯矩图AC 段 与CD段 的 弯 矩 图 是 斜 直 线 ， 求 出 以 下 控 制 截 面 的 弯 矩M A3.5qa2，M C1.5qa 2， M D0.5qa2，可作这两段斜直线。DB段由于有均布载荷作用，弯矩图是一段抛物线，如图8-6a 所示。b) （ 1）求支座反力由整体平衡方程（见图8-6b ）：nqaM A ( Fi ) 0 ， q
13、2a a qa2FB 3a0 ， 得 FBi 13nFAq 2a FB0 ，得 FA5qaFiy 0 ，3i 1图 8-6b（ 2）作剪力图CB段剪力图是水平线， 大小为qaFQA5qa3 。AC段剪力图是斜直线， 确定两个控制点3 ，qaFQC8-6b 所示。作剪力图如图3（ 3）作弯矩图CB 段的弯矩图是斜直线，求出以下控制截面的弯矩：M C1 qa2 ， M B0 ，作出这段斜直线。3AC段由于有均布载荷作用，弯矩图是一段抛物线。当剪力为0 时（见图 7-21所示 D 点），弯矩出现极值，即当x5 a 时，M max51.389qa2 。再求出以下控制截面的弯矩：3( 3 a)M A0 ， M C4 qa2 。画弯矩图如图8-6b所示。3（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）
