1、三角函数与圆,思想方法提炼 感悟、渗透、应用 课时训练,思想方法提炼,三角函数是与角密切相关的函数，而圆中常会出 现与角有关的求解问题,三角函数与圆的综合应用是中考中的热点问题之一. (1)非特殊角求其三角函数值的问题. (2)已知三角函数值求圆中的有关线段长等问题. (3)三角函数与方程结合,感悟、渗透、应用 -转换角,例1、如图，已知AB是O的直径，CD是弦且CDAB，BC=6，AC=8，则sinABD的值是（ ） A 4/5 B3/5 C3/4 D4/3,感悟、渗透、应用 -构造直角三角形,例2、如图,已知ABC的外接圆O的半径为1, D、E分别为AB、AC的中点，DE=0.5, 则si
2、nBAC的值等于-,感悟、渗透、应用 非特殊角求其三角函数值的问题,【例3】如图所示，已知AB为O的直径，C为AB延长线上的点，以OC为直径的圆交O于D，连结AD，BD，CD. (1)求证：CD是O的切线； (2)若AB=BC=2，求tan A的值.,【解析】 (1)证CDO=90即可，理由OC为圆的直径. (2)利用BCDDCA得到BD：DA的比值,解：(1)连结OD，OC为直径 CDO=90 又OD为O的半径CD是O的切线 (2)由切割线定理有：CD2=CBCA=8CD=2 BDC=A，BCD=DCABCDDCA = AB是O的直径ADB=90tan A=,【例3】(2003年湖北省黄冈市
3、)已知：如图，C为半圆上一点，AC=CE，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F， (1)求证：AD=CD； (2)若DF=5/4，tan ECB =3/4，求PB的长.,【分析】 (1)证ACD为等腰三角形即可得. (2)先证明 CD=AD=FD，在RtADP中再利用勾股定理及tan DAP=tan ECB=3/4，求出DP、PA、CP，最后利用APCCPB求PB的长.,感悟、渗透、应用 -求圆中的有关线段长等问题,解：(1)连结ACAC=CECEA=CAE CEA=CBACBA=CAE AB是直径ACB=90 CPABCBA=ACP CAE=ACPAD=CD
4、 (2)ACB=90CAE=ACP DCF=CFDAD=CD=DF=5/4 ECB=DAP，tan ECB=3/4 tan DAP=DP/PA=3/4 DP2+PA2=DA2 DP=3/4 PA=1CP=2 ACB=90，CPAB APCCPB PB=4,思维拓展：ABC中，AB=10，外接圆O的面积为25，sin A，sin B是方程(m+5)x2-(2m-5)x+12=0的个两根，其中m-5.(1)求m的值；(2)求ABC的内切圆的半径.,解(1)设O的内切圆的半径为r，O的半径为R R2=25R=5 因O的内接ABC的边AB=10=2R AB是O的直径，且ACB90，则ABC是直角三角形
5、，从而A+B=90，故sin B=cos A因sin A、sin B是一元二次方程(m+5)x2-(2m-5)x+12=0的两个根，故 2-2得(sin A+cos A)2-2sin Acos A ,1 消去sin A和cos A，得m2-18m-40=0 解之得m=20或m=-2,三角函数与圆、方程结合,(2)当m=20时， 方程化为：25x2-35x+12=0 解之得 x=3/5，x=4/5 则sin A=3/5，sin B=4/5或sin A=4/5，sin B=3/5 即： AC=ABsin B=104/5=8 BC=ABsin A=103/5=6或AC=6，BC=8 于是内切圆半径r=1/2(a+b-c)= 1/2(8+6-10)=2 当m=-2时，方程化为x2+3x+4=0 此方程无实根 m=-2应舍去 m=20，r=2,小结:今天你有什么收获?你还有什么疑问?,请各位专家批评指正,
