1、九年数学第二学期复习动态问题集锦1如图,RtABC中,C=90,BC=6,AC=8点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B 向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点, HQAB于Q,交AC于点H当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运动设BP的长为x,HDE的面积为y(第24题)H(1)求证:DHQABC;(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值;(3)当x为何值时,HDE为等腰三角形?【答案】解(1)A、D关于点Q成中心对称,HQAB,=90,HD=HA,(图1)(图2)DHQABC(2)如图1,当时, ED=,QH=,此时当时,最大
2、值如图2,当时,ED=,QH=,此时 当时,最大值y与x之间的函数解析式为y的最大值是(3)如图1,当时,若DE=DH,DH=AH=, DE=,=,显然ED=EH,HD=HE不可能;如图2,当时,若DE=DH,=,; 若HD=HE,此时点D,E分别与点B,A重合,;若ED=EH,则EDHHDA, 当x的值为时,HDE是等腰三角形.2.如图,在ABC中,C45,BC10,高AD8,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F两点分别在AB、AC上,AD交EF于点H (1)求证:; (2)设EFx,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值;(3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每
3、秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFFQ与ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式(第21题)【答案】解:(1) 四边形EFPQ是矩形, EFQP AEFABC第21题图1 又 ADBC, AHEF (2)由(1)得 AHx EQHDADAH8x, S矩形EFPQEFEQx (8x) x28 x(x5)220 0, 当x5时,S矩形EFPQ有最大值,最大值为20(3)如图1,由(2)得EF5,EQ4 C45, FPC是等腰直角三角形 PCFPEQ=4,QCQPPC9分三种情况讨论: 如图2当0t4时, 设EF、PF分别交AC于点M、
4、N,则MFN是等腰直角三角形 FNMFtSS矩形EFPQSRtMFN=20t2t220;如图3,当4t5时,则ME5t,QC9t SS梯形EMCQ(5t)(9t )44t28;如图4,当5t9时,设EQ交AC于点K,则KQ=QC9t SSKQC= (9t)2( t9)2 第21题图2 第21题图3 第21题图4综上所述:S与t的函数关系式为:S=3.如图,在直角坐标系中,A(-1,0),B(0,2),一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动,P点的运动速度为每秒1个单位长度,射线BM与x轴交与点C(1)求点C的坐标(2)求过点A、B、C三点的抛物线的解析式(3)若P点开始运动时,Q点也同时从
5、C出发,以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动,t秒后,以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形(点P到点C时停止运动,点Q也同时停止运动)求t的值(4)在(2)(3)的条件下,当CQ=CP时,求直线OP与抛物线的交点坐标【答案】(1)点C的坐标是(4,0);(2)设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0),将点A、B、C三点的坐标代入得:解得,抛物线的解析式是:y= x2+x+2(3)设P、Q的运动时间为t秒,则BP=t,CQ=t以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形,可分三种情况讨论若CQ=PC,如图所示,则PC= CQ=BP=t有2t=BC=,t=若PQ=QC,如图
6、所示,过点Q作DQBC交CB于点D,则有CD=PD由ABCQDC,可得出PD=CD=,解得t=若PQ=PC,如图所示,过点P作PEAC交AC于点E,则EC=QE=PC,t=(-t),解得t=(4)当CQ=PC时,由(3)知t=,点P的坐标是(2,1),直线OP的解析式是:y=x,因而有x =x2+x+2,即x2-2x-4=0,解得x=1,直线OP与抛物线的交点坐标为(1+,)和(1-,)4.如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时
7、,M、N两点同时停止运动连接FM、MN、FN,当F、N、M不在同一直线时,可得FMN,过FMN三边的中点作PQW设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒试解答下列问题:(1)说明FMNQWP;(2)设0x4(即M从D到A运动的时间段)试问x为何值时,PQW为直角三角形?当x在何范围时,PQW不为直角三角形?(3)问当x为何值时,线段MN最短?求此时MN的值第22题图(2)ABCDF第22题图(1)ABMCFDNWPQMNWPQ【答案】解:(1)由题意可知P、W、Q分别是FMN三边的中点,PW是FMN的中位线,即PWMNFMNQWP(2)由题意可得 DM=BN=x,AN=6-x
8、,AM=4-x,由勾股定理分别得 =,=+=+当=+时,+=+解得 当=+时,+=+此方程无实数根=+时,=+解得 (不合题意,舍去),综上,当或时,PQW为直角三角形;当0x或x4时,PQW不为直角三角形(3)当0x4,即M从D到A运动时,只有当x=4时,MN的值最小,等于2;当4x6时,=+=+=当x=5时,取得最小值2,当x=5时,线段MN最短,MN=5. (2012广东湛江12分)如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8)动点M从点O出发沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿A
9、B向终点B以每秒个单位的速度运动当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t0)(1)当t=3秒时直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;(2)在此运动的过程中,MNA的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;(3)当t为何值时,MNA是一个等腰三角形?【答案】解:(1)N(3,4)。 A(6,0)可设经过O、A、N三点的抛物线的解析式为:y=ax(x6),则将N(3,4)代入得4=3a(36),解得a=。抛物线的解析式:。(2)存在。过点N作NCOA于C,由题意,AN=t,AM=OAOM=6t,NC=NAsin
10、BAO=。MNA的面积有最大值,且最大值为6。(3)在RtNCA中,AN=t,NC=ANsinBAO=,AC=ANcosBAO=t。 OC=OAAC=6t。N(6t,)。又AM=6t且0t6,当MN=AN时,即t28t+12=0,解得t1=2,t2=6(舍去)。当MN=MA时,即,解得t1=0(舍去),t2=。当AM=AN时,6t=t,即t=。综上所述,当t的值取 2或或 时,MAN是等腰三角形。【考点】二次函数综合题,动点问题,勾股定理,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,二次函数的最值,等腰三角形的性质。【分析】(1)由A、B的坐标,可得到OA=6,OB=8,根据勾股
11、定理可得AB=10。当t=3时,AN=t=5=AB,即N是AB的中点,由此得到点N的坐标N(3,4)。利用待定系数法,设交点式求出抛物线的解析式。(2)MNA中,过N作MA边上的高NC,先由BAO的正弦值求出NC的表达式,而AM=OA-OM,由三角形的面积公式可得到关于SMNA关于t的函数关系式,由二次函数的最值原理即可求出MNA的最大面积。(3)首先求出N点的坐标,然后表示出AM、MN、AN三边的长。由于MNA的腰和底不确定,若该三角形是等腰三角形,可分三种情况讨论:MN=NA、MN=MA、NA=MA;直接根据等量关系列方程求解即可。3. (2012广东梅州11分)如图,矩形OABC中,A(
12、6,0)、C(0,2)、D(0,3),射线l过点D且与x轴平行,点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点,满足PQO=60(1)点B的坐标是;CAO= 度;当点Q与点A重合时,点P的坐标为 ;(直接写出答案)(2)设OA的中心为N,PQ与线段AC相交于点M,是否存在点P,使AMN为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的横坐标为m;若不存在,请说明理由(3)设点P的横坐标为x,OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围解:(1)(6,2)。 30。(3,3)。(2)存在。m=0或m=3或m=2。(3)当0x3时,如图1,OI=x,IQ=PItan60=3,
13、OQ=OI+IQ=3+x;由题意可知直线lBCOA,可得,EF=(3+x),此时重叠部分是梯形,其面积为:当3x5时,如图2,当5x9时,如图3,当x9时,如图4,。综上所述,S与x的函数关系式为: 。【考点】矩形的性质,梯形的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,相似三角形的判定和性质,解直角三角形。【分析】(1)由四边形OABC是矩形,根据矩形的性质,即可求得点B的坐标:四边形OABC是矩形,AB=OC,OA=BC,A(6,0)、C(0,2),点B的坐标为:(6,2)。由正切函数,即可求得CAO的度数:,CAO=30。由三角函数的性质,即可求得点P的坐标;如图:当点Q与点A重合时,过点P
14、作PEOA于E,PQO=60,D(0,3),PE=3。OE=OAAE=63=3,点P的坐标为(3,3)。(2)分别从MN=AN,AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案:情况:MN=AN=3,则AMN=MAN=30,MNO=60。PQO=60,即MQO=60,点N与Q重合。点P与D重合。此时m=0。情况,如图AM=AN,作MJx轴、PIx轴。MJ=MQsin60=AQsin600又,解得:m=3。情况AM=NM,此时M的横坐标是4.5,过点P作PKOA于K,过点M作MGOA于G,MG=。KG=30.5=2.5,AG= AN=1.5。OK=2。m=2。综上所述,点P的横坐标为m=0或m=3或m=2。(3)分别从当0x3时,当3x5时,当5x9时,当x9时去分析求解即可求得答案。