1、讲义一正弦定理和余弦定理以及其应用一、知识与技能：掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。二、知识引入与讲解：、正弦定理的探索和证明及其基本应用：正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abcsinAsinBsin C =2R例 1（ 1）、已知ABC中，A0， a3 , 求a bc(=2)60sin Bsinsin AC（ 2）、已知ABC 中， sin A:sin B:sin C 1:2:3，求 a: b: c（答案： 1：2： 3）、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用：例 2（ 1）、在ABC中，已知a23，0，求 b 及 A （ b 2 2.A0c6 2 B60
2、60. ）（2）、在ABC中，已知 a80 ， b100，A450 ，试判断此三角形的解的情况。例 3在ABC中，已知 a7 ， b5 ， c 3 ，判断ABC的类型。a2b2c 2A是直角ABC是直角三角形分析：由余弦定理可知a2b2c2是钝角ABC是钝角三角形Aa2b2c2A是锐角ABC是锐角三角形（注意：A是锐角ABC是锐角三角形）解： Q 725232 ，即 a2b2c 2 ，ABC是钝角三角形 。练习： （ 1）在ABC中，已知 sin A:sin B:sin C1:2:3，判断ABC的类型。（ 2）已知ABC满足条件 a cosAb cosB ，判断ABC的类型。（答案：（ 1）A
3、BC是钝角三角形 ；（ 2） ABC是等腰或直角三角形）例 4 在ABC中， A01，面积为3，求abc的值60 ， b2sin AsinBsin C分析：可利用三角形面积定理S1 absinC1 acsinB1 bc sin A以及正弦定理222abcabcsin Asin BsinCsin Asin B sin C解：由 S1bcsinA3得c2，则 a2b2c 2bccosA=3，即a3，222从而abca2sin AsinBsin CsinA例题 5、某人在 M汽车站的北偏西20的方向上的 A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向 M站行驶。公路的走向是M站的北偏东 40 。开始时，汽
4、车到A 的距离为 31 千米，汽车前进 20第- 1 -页共 2页千米后，到 A 的距离缩短了 10 千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达 B 处。在ABC中， AC=31， BC=20， AB=21，由余弦定理得cosC= AC 2BC 2AB 2= 23 ,2ACBC31则 sin 2 C =1- cos2 C = 4322 ,31sinC = 123 ,31所以 sinMAC= sin （ 120 -C）= sin120 cosC - cos120sinC = 35362在MAC中，由正弦定理得MC =AC sinMAC = 31s
5、inAMC3235 3 =35从而有 MB= MC-BC=1562答：汽车还需要行驶15 千米才能到达M汽车站。练习题： 1、判断满足下列条件的三角形形状，（ 1）、 acosA = bcosB （ 等腰三角形或直角三角形）（ 2）、 sinC = sin Asin B（直角三角形）cos Acos B2、如图，在四边形ABCD中，ADB=BCD=75， ACB=BDC=45 ， DC= 3 ，求：（ 1） AB的长（ 2）、求四边形 ABCD的面积解（ 1）因为BCD=75， ACB=45 ，所以ACD=30，又因为BDC=45 ，所以DAC=180- （75+ 45 +30 ）=30，所以AD=DC=3在BCD中，CBD=180- （ 75+ 45 ） =60，所以BD=DC， BD =3 sin 75 =62sin 75sin 60sin 602在ABD中， AB2 =AD2 + BD 2 -2ADBD cos75= 5, 所以得 AB=5（ 2） SABD= 1ADBD sin75= 3 23同理， SBCD= 33244所以四边形 ABCD的面积 S=6 334第- 2 -页共 2页
