1、 题 ： 10 3 组合(二 )教学目的：1 掌握 合数的两个性 ，并能运用 合数的性 行化 ；2. 一步理解排列与 合的区 和 系，熟 掌握 合数的 算公式，并且能 运用公式解决一些 的 用 教学重点： 合数的性 教学 点： 合数的性 授 型： 新授 安排： 1 课时教具：多媒体、 物投影 教学 程 ：一、复 引入：11 分 数原理： 做一件事情，完成它可以有n 法，在第一 法中有 m1 种不同的方法，在第二 法中有m2 种不同的方法，在第n 类 法中有 mn 种不同的方法那么完成 件事共有Nm1m2 Lmn 种不同的方法2. 分步 数原理： 做一件事情，完成它需要分成n 个步 ，做第一步有
2、m1种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，做第n 步有 mn 种不同的方法，那么完成 件事有 N m1 m2Lmn种不同的方法3排列的概念： 从 n 个不同元素中，任取m （ m n ）个元素（ 里的被取元素各不相同）按照一定的 序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列4排列数的定 ： 从 n 个不同元素中，任取m （ mn ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出m 元素的 排列数 ，用符号 Anm 表示5排列数公式：m(1)(2)(1) （AnnLn mm, n N , m n）n n61 乘： n!表示正整数1 到 n 的 乘 ，叫做n 的 乘 定 0!
3、17排列数的另一个 算公式：Anm =n!( nm)!第1页共5页82 组合的概念： 一般地，从 n 个不同元素中取出 mmn 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个 组合说明： 不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同9组合数的概念： 从 n 个不同元素中取出m mn 个元素的所有组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的 组合数 用符号mC n 表示10组合数公式： CnmAnmn(n1)(n2)L (nm1)Ammm!或 C mnn!(n,mN , 且 m n)m!(nm)!二、讲解新课：12 组合数的性质1： C nmC nnm 一般地，从 n
4、个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m 个元素因为从n 个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n m个元素的每一个组合一一对应 ，所以从 n 个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出个元素的组合数，即：mn mn mC nCn 在这里，主要体现： “取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明： Cnn mn!n!(nm)!n(n m)! m!(n m)!又 Cnmn!， CnmCnn mm!( n m)!说明：规定： C n01 ；等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；此性质作用： 当 mn 时，计算 Cnm 可变为计算 C nn m ，能够使运算简化 .2例如
5、 C 20022001 C 20022002 2001 C 12002 =2002； C nxC nyxy 或 xyn 2组合数的性质2： C nm 1 C nm +C nm 1 第2页共5页一般地， 从 a1 , a2 , an 1 这 n+1 个不同元素中取出 m个元素的组合数是C nm1 ，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1 ，一类不含有 a1 含有 a1 的组合是从 a2 , a3 , , an 1这 n 个元素中取出m 1 个元素与 a1 组成的，共有 C nm 1个；不含有 a1 的组合是从a2 , a3 , , an 1 这 n 个元素中取出 m个元素组成的，共有 Cnm 个
6、根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想证明： CnmCnm 1n!n!1)!m! (n m)! (m1)! n(m(n m1m)n!( n1)!m! (nm1)!m! (nm1)!n!(nm1)n! mm! (nm1)!C nm 1 C nm 1 C nm + C nm 1 说明： 公式特征：下标相同而上标差1 的两个组合数之和，等于下标比原下标多 1 而上标与大的相同的一个组合数；此性质的作用：恒等变形，简化运算三、讲解范例：例 1一个口袋内装有大小不同的7 个白球和1 个黑球，（ 1）从口袋内取出 3 个球，共有多少
7、种取法？（ 2）从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？（ 3）从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（ 1） C8356 , 或 C 83C72C 73 ，；（ 2） C 7221 ；（ 3） C 7335 例 2（ 1）计算： C73C 74C85C 96 ；（ 2）求证： C mn 2 C mn + 2C mn 1 +C mn 2 解：（ 1）原式C84C85C96C95C96C106C104210；证明：（ 2）右边(CmnCmn 1 )(Cmn 1Cmn 2 )C mn1Cmn11Cmn2左边例 3 解方程：（ 1） C13x 1C132x
8、3 ；（ 2）解方程： C xx22C xx231 Ax33 10解：（ 1）由原方程得x12x3 或 x12x313， x4或 x5，第3页共5页1x 113又由 12x3 13 得2x8 且 xN，原方程的解为x4 或 x 5xN上述求解过程中的不等式组可以不解, 直接把 x4 和 x5 代入检验 , 这样运算量小得多 .（ 2）原方程可化为 Cxx321Ax33 ，即 C x531Ax33，( x3)!( x 3)! ，10105!( x2)!10 x!11，2)!10 x( x1)( x2)!120( x x2x120 ，解得x4 或 x3，经检验： x4 是原方程的解四、课堂练习：1
9、方程 C28xC283x 8 的解集为（）A 4B 9C D 4,92式子 C10m 2C1017m （ mN）的值的个数为（ ）A 1B 2C 3D 43化简： C m9Cm91C m8；4若 Cn10Cn8 ，则 C20n的值为；5有 3 张参观券，要在5 人中确定 3 人去参观，不同方法的种数是；6要从 5 件不同的礼物中选出3 件分送 3 位同学，不同的方法种数是；7 5 名工人分别要在3 天中选择1 天休息，不同方法的种数是；8集合 A 有 m 个元素，集合B 有 n 个元素，从两个集合中各取出1 个元素，不同方法的种数是9从 1,2,3,L , 20 这20个数中选出 2 个不同的
10、数， 使这两个数的和为偶数，有_ 种不同选法10正 12 边形的对角线的条数是11已知 C17x 2C172x ，求 C8x 的值；第4页共5页12解方程：C42 xC 42 x 1C65C66 13 6 人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？14在所有的三位数中，各位数字从高到低顺次减小的数共有个答案： 1. D2. A3. 04. 1905. 106. 607. 2438.mn9. 9010. 54 11. 28 或者 5612. 2 或者113. 63214.A103/ A33120，可以保证 0 在最低位五、小结：组合数的两个性质；从特殊到一般的归纳思想；常用的等式：C k0C k0 1C kkC kk 111六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：第5页共5页
