1、2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定,1.直线与平面垂直,任意一条,l,公共点P,2.直线与平面垂直的判定定理,两条相交,垂直,3.直线与平面所成的角(1)斜线、斜足与射影的概念,相交,垂直,直线PA,交点,点A,垂线,垂足,斜足,直线AO,(2)直线与平面所成角的定义和取值范围定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_.规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是_;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是_;取值范围:记直线与平面所成的角为,则_.,锐角,直角,0的角,090,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)如果一条直线与一个平面内无数条直线
2、都垂直,那么这条直线与这个平面垂直.()(2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直,那么这条直线一定不与这个平面垂直.()(3)如果两条直线和一个平面所成的角相等,那么这两条直线一定平行.(),【解析】(1)错误.如果一条直线与一个平面内无数条平行直线都垂直,那么这条直线不一定与这个平面垂直.(2)正确.由线面垂直的定义知,此说法正确.(3)错误.如圆锥的两条母线与底面所成的角相等,但它们相交.答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)过平面外一点作该平面的垂线有条.(2)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,不能保证该直线与平面垂直的是.(填序号)平行
3、四边形的两条对角线;梯形的两条边;圆的两条直径;正六边形的两条边.,(3)AB是平面的斜线段,其长为a,它在平面内的射影AB的长为b,则垂线AA的长为.(4)如图所示,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角为.,【解析】(1)过平面外一点作该平面的垂线有且只有一条.答案:1(2)根据直线与平面垂直的判定定理知直线与平面内两条相交直线垂直时,可证线面垂直.平行四边形的两条对角线相交,圆的两条直径相交,所以可以保证直线与平面垂直.梯形的上下底平行,正六边形的相对边平行,若直线与这样平行的两边垂直,则不能保证直线与平面垂直.答案:,(3)如图所示,AB=a,A
4、B=b,AAB=90,所以AA= 答案:(4)因为PA平面ABC,所以PB在平面ABC内的射影是AB,所以PBA是PB与平面ABC所成的角.在PAB中,PA=AB,PAB=90,所以PBA=45,即PB与平面ABC所成的角为45.答案:45,【要点探究】知识点1 直线与平面垂直的定义和判定定理1.对直线与平面垂直定义的四点说明(1)定义中的“任意一条直线”这一词语,它与“所有直线”是同义语,定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.,(3)若直线与平面垂直,则直线和平面内的任何一条直线都垂直,即“线面垂直,则线线垂直”,这是我们判定两条直线垂直时
5、经常使用的一种重要方法.(4)在画线面垂直时,要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直,符号语言表述为l.,2.对直线与平面垂直的判定定理的三点说明(1)引进判定定理的必要性用线面垂直的定义可以证明线面垂直,但是要说明直线与平面内任意一条直线都垂直,在实际运用时有困难,所以需要引进一种容易操作,应用广泛的证明方法.,(2)关键词“两条相交直线”的理解虽然平面内直线有无数多条,但它却可以由两条相交直线完全确定.不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直”.实际上,由公理4可知,平行具有“传递性”,因此一条直线与平面内的一条直线垂直,那么它与这个平面内平行于这条直线的所有
6、直线都垂直,但不能保证与其他直线垂直.,(3)所体现的数学思想直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想,即将线面垂直转化为线线垂直.,【微思考】(1)利用线面垂直的定义可以解决哪几类问题?提示:利用线面垂直的定义可以证明线面垂直,也可以证明线线垂直.(2)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是什么?提示:利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是证明平面外的直线与平面内两条相交直线垂直.,【即时练】已知平面及外两条直线l,m,下列叙述(1)若l,lm,则m.(2)若l垂直于内的所有直线,则l.(3)若l垂直于内的两条相交直线,则l.(4)若l垂直于内的任意一条直线,则l.其中正确的
7、有(填序号).,【解析】(1)正确.在平面内任取两条相交直线a,b,因为l,所以la,lb,又lm,所以ma,mb,所以m.(2)正确.由线面垂直的定义可知.(3)正确.由线面垂直的判定定理可知.(4)正确.由线面垂直的定义可知.答案:(1)(2)(3)(4),知识点2 直线与平面所成的角1.线面角定义的三个关注点(1)斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的.(2)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.(3)斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角.,2.确定直线与平面所成角的方法(1)判断直线和平面的位置,若直线在平面内或与平面平行,此时直线与平面
8、所成的角为0;若直线与平面垂直,此时直线与平面所成的角为90.(2)若直线与平面斜交,可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中,这一点的选取要有利于求角),找出直线在平面内的射影,从而确定出直线和平面所成的角,一般转化到直角三角形、等边三角形中求解.,【知识拓展】三余弦公式已知平面的斜线a与内一直线b相交成角,且a与相交成1角,a在上的射影c与b相交成2角,探究三个角,1,2的关系.,如图作PO于O,OBb于B,连接PB,则PBb,PAB=,PAO=1,BAO=2,在直角三角形PAB中cos= ,在直角三角形OAB中cos2= ,在直角三角形PAO中cos1= ,所以cos1cos2=
9、=cos.所以cos=cos1cos2.,【微思考】(1)作直线与平面所成角的关键是什么?提示:关键是在斜线上任取一点(除了斜足)作平面的垂线.(2)直线与平面所成的角与异面直线所成的角在取值范围上有何区别?提示:直线与平面所成的角()的取值范围为090.异面直线所成的角()取值范围为090.,【即时练】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)作出AB1与平面BB1D1D所成的角.(2)作出AB1与平面A1B1CD所成的角.(3)求AB1与平面CDD1C1所成的角.(4)求AB1与平面BCC1B1所成的角.,【解析】(1)如图所示,AB1O1为AB1与平面BB1D1D所成的角.,(2
10、)如图所示,AB1O2是AB1与平面A1B1CD所成的角.,(3)因为AB1平面CDD1C1,所以所成的角为0.(4)因为AB平面BCC1B1,所以AB1B是AB1与平面BCC1B1所成的角,而AB1B=45,所以AB1与平面BCC1B1所成的角为45.,【题型示范】类型一 线线垂直与线面垂直的转化【典例1】(1)(2014赣州高一检测)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=时,CF平面B1DF.,(2)(2013安徽高考改编)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的
11、菱形,BAD=60,AC与BD相交于点O,已知PB=PD=2,PA= .求证:PCBD;求证:PO平面ABCD.,【解题探究】1.题(1)中,首先容易证得CF与平面B1DF内的哪条直线垂直?所填条件应使CF与平面B1DF内哪条直线垂直?2.题(2)中,第问关键是证明哪组线面垂直关系?第问关键是哪两条直线垂直?【探究提示】1.题(1)中首先可证B1D平面AC1,得CFB1D,所填条件应使CFDF.2.题(2)中,第问关键是证明BD平面APC,第问关键是证POAC.,【自主解答】(1)连接CD,由已知得B1D平面AC1,又CF平面AC1,所以B1DCF,故若CF平面B1DF,则必有CFDF.设AF
12、=x(0x3a),则CF2=x2+4a2,DF2=a2+(3a-x)2,又CD2=a2+9a2=10a2,所以10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2,解得x=a或2a.答案:a或2a,(2)因为底面ABCD是菱形,所以ACBD,BO=DO.又因为PB=PD,所以POBD.又POAC=O,所以BD平面APC.因为PC平面APC,所以PCBD.,因为PB=PD=AB=AD=2,BD=BD,所以ABDPBD.又O为BD的中点,所以PO=AO.因为BAD=60,AB=AD,所以ABD是等边三角形,所以PO=AO= AB= ,BO= BD= AB=1,又PA= ,所以PO2+AO2=PA2,故PO
13、AC.又POBD,且ACBD=O,所以PO平面ABCD.,【延伸探究】题(2)中,若E是PA的中点,试求三棱锥P-BCE的体积.【解题指南】由BD平面APC知VP-BCE转化为VB-PCE更易求,由E是PA的中点知SPCE=SACE= SAPC,进而得VB-PCE= VB-PAC.,【解析】由题知POAC,故SAPC= ACPO= 2AOPO= 2 =3.由题知,BD平面APC,所以BO平面APC,故VP-BCE=VB-PCE= SPCEBO= SAPCBO= 31= .,【方法技巧】1.证明线面垂直的常用方法(1)线面垂直的定义.(2)线面垂直的判定定理.(3)如果两条平行直线中的一条直线垂
14、直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.,2.线线垂直和线面垂直的相互转化,【变式训练】(2014山东高考)如图,四棱锥P-ABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC= AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.(1)求证:AP平面BEF.(2)求证:BE平面PAC.,【解题指南】(1)本题考查线面平行的证法,可利用线线平行来证明线面平行.(2)本题考查了线面垂直的判定,在平面PAC中找两条相交直线与BE垂直即可.,【证明】(1)连接AC交BE于点O,连接OF,不妨设AB=BC=1,则AD=2,又因为E为AD
15、的中点,所以AE=1,所以AE=BC,因为AB=BC,ADBC,所以四边形ABCE为菱形,因为O,F分别为AC,PC的中点,所以OFAP,又因为OF平面BEF,AP平面BEF,所以AP平面BEF.,(2)因为AP平面PCD,CD平面PCD,所以APCD,因为BCED,BC=ED,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BECD,所以BEPA,又因为四边形ABCE为菱形,所以BEAC,又因为PAAC=A,PA,AC平面PAC,所以BE平面PAC.,【补偿训练】如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M为CC1的中点,AC交BD于点O,求证:A1O平面MBD.,【证明】因为A1ABD,ACBD,
16、A1AAC=A,所以BD平面A1AO.又A1O平面A1AO.所以BDA1O.,设正方体的棱长为a,连接OM,A1M,A1C1.因为A1O2=A1A2+AO2=a2+ OM2=MC2+OC2= A1M2=A1C12+C1M2= 所以A1O2+OM2=A1M2,所以A1OOM.又BDOM=O,所以A1O平面MBD.,类型二 直线与平面所成的角【典例2】(1)(2013大纲版全国卷改编)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(底面为正方形,侧棱与底面垂直)中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(),(2)(2014天津高一检测)如图,PA平面ABCD,ABCD为正方形,且PA=A
17、D,E,F分别是线段PA,CD的中点.求EF和平面ABCD所成的角的正切值.,【解题探究】1.题(1)中点C到平面BDC1的距离h是否可以求出?2.题(2)中,EF与平面ABCD所成的角是什么?【探究提示】1.利用等积法,即VC-BDC1=VC1-BDC可求点C到平面BDC1的距离h.2.由PA平面ABCD知EF与平面ABCD所成的角是AFE.,【自主解答】(1)选A.设AB=a,则AA1=2a,设三棱锥C-BDC1的高为h,CD与平面BDC1所成的角为.因为VC-BDC1=VC1-BDC，即解得h= a.所以sin =,(2)连接AF.因为PA平面ABCD，所以AFE是EF与平面ABCD所成
18、的角.设PA=AD=2a.因为ABCD为正方形，E，F分别是线段PA，CD的中点，所以AF= AE=a，所以tanAFE=所以EF和平面ABCD所成的角的正切值为,【方法技巧】求斜线和平面所成的角的步骤(1)确定斜足:斜线和平面的交点.(2)确定垂足:过斜线上除斜足外的任一点向平面引垂线.(3)解三角形:解由斜线段及其射影和垂线段构成的三角形.,【变式训练】(2014邢台高一检测)如图,四棱锥P-ABCD,平面ABCD为菱形,PD=AD,DAB=60,PD底面ABCD.(1)求证ACPB.(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值.,【解析】(1)因为底面ABCD为菱形,所以ACBD.因为PD底面
19、ABCD,所以ACPD,又PDBD=D,所以AC平面PDB,所以ACPB.(2)设PD=AD=1,设A到平面PBC的距离为h,则由题意PA=PB=PC= ,SABC= 在等腰PBC中,可求SPBC= 因为VA-PBC=VP-ABC,所以 可得h= ,所以PA与平面PBC所成角的正弦值为,【补偿训练】如图,在三棱锥A-BCD中,AB平面BDC,AB=BD,BCD=90,BDC=60,E,F分别为棱AC,AD的中点.(1)求证:DC平面ABC.(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值.,【解析】(1)因为AB平面BDC,CD平面BDC,所以ABCD.又BCD=90,所以DCBC.又ABBC=B,所以
20、DC平面ABC.,(2)因为E,F分别为AC,AD的中点,所以EFDC.又由(1)知DC平面ABC,所以EF平面ABC,垂足为点E,所以FBE是BF与平面ABC所成的角.在RtBCD中,因为BDC=60,所以DBC=30.设CD=a,则BD=2a,BC= a.在RtABD中,AB=BD,F为AD的中点,所以BF= 又EF= 所以在RtFEB中,sinFBE= 即BF与平面ABC所成角的正弦值为,【易错误区】线线垂直、线面垂直、面面平行转化不当致误【典例】(2014威海高一检测)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,过A点作平面A1BD的垂线,垂足为点H,有下列三个命题:(1)点
21、H是A1BD的中心.(2)AH垂直于平面CB1D1.(3)直线AC1与直线B1C所成的角是90.其中正确命题的序号是.,【解析】(1)正确.连接A1H,BH,DH,因为AB=AD=AA1,AH平面A1BD,所以RtABHRtADHRtAA1H ,所以HA1=HD=HB.又A1BD是等边三角形,所以点H是A1BD的中心.,(2)正确.因为A1B1AB,A1B1=AB,CDAB,CD=AB,所以A1B1CD且A1B1=CD,所以四边形A1B1CD是平行四边形,所以B1CA1D,又A1D平面A1BD,B1C平面A1BD,所以B1C平面A1BD,同理可证B1D1平面A1BD.又B1CB1D1=B1,所
22、以平面CB1D1平面A1BD，又AH平面A1BD，所以AH平面CB1D1.,(3)正确.因为BCC1B1是正方形,所以B1CBC1.因为AB平面BCC1B1,B1C平面BCC1B1,所以B1CAB.又ABBC1=B,所以B1C平面ABC1D1，又AC1平面ABC1D1，所以AC1B1C,所以AC1与B1C所成的角是90.答案:(1)(2)(3),【常见误区】,【防范措施】1.注意平面几何知识的应用解答空间几何问题要注意三角形全等、等腰(等边)三角形的性质等平面几何知识的应用.如本例中用三角形全等证HA1=HD=HB,又A1BD是等边三角形,故H为A1BD的中心.2.重视平行关系与垂直关系的相互
23、转化通常以线面垂直为核心,可以实现平行关系与垂直关系的相互转化,如本例中由平面CB1D1平面A1BD,AH平面A1BD,可得AH平面CB1D1.,3.弄清楚证空间两条直线垂直的常用方法证明空间中两条直线垂直,通常要转化为证明其中一条直线垂直于经过另一条直线的平面.如本例中,由B1C平面ABC1D1,可得AC1B1C.,【类题试解】如图,BC是RtABC的斜边,AP平面ABC,连接PB,PC,过P作PDBC于D,连接AD,则图中共有直角三角形个.,【解析】因为AP平面ABC,所以APAB,APAC,APAD,APBC.又因为BCPD,APPD=P,所以BC平面PAD,所以BCAD.综上分析知直角三角形有PAB,PAC,PAD,PCD,PBD,ABD,ACD,ABC,共8个.答案:8,
