1、2.2.4平面与平面平行的性质,【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材,并识记平面与平面平行的性质定理,初步掌握它的简单应用.,【知识链接】1.平面与平面的位置关系. 平行没有公共点 相交有一条公共直线2.平面与平面平行的判定定理:a,b,ab=P,a,b,主题:平面与平面平行的性质定理【自主认知】1.如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线存在哪些位置关系?提示:根据平面平行的定义,两个平面没有公共点,则这两个平面内的直线没有公共点,所以这两个平面内的直线之间的位置关系是平行或异面.,2.分别在两平行平面内的两条直线在什么条件下才是平行的?提示:当两条直线共面时,两条直线
2、才平行.,根据以上探究过程,试着写出平面与平面平行的性质定理,如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行,【合作探究】1.如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系?提示:根据平面与平面平行的定义和线面平行的定义,它们之间的位置关系是平行.,2.在平面与平面平行的条件中,若去掉条件结论是否成立?提示:当去掉条件结论不一定成立,直线a,b可能重合、平行或相交,如图:,【拓展延伸】两个平面平行的一些常用结论(1)如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行.(2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它也和另一个平面相交.(3)夹在两个平
3、行平面间的所有平行线段相等.,【过关小练】1.平面与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.平行或异面【解析】选C.因为圆台的上、下两个底面平行,平面与圆台的上、下底面的交线分别为m,n,所以mn.,2.六棱柱的两底面为,且A,B,C,D,ADBC,则AB与CD的位置关系是_.【解析】因为ADBC,且平面ABCD=AB,平面ABCD=CD,又,所以ABCD.答案:平行,【归纳总结】对面面平行性质定理的理解(1)平面与平面平行的性质定理的三个条件:,=a,=b,缺一不可.(2)定理的实质是由面面平行得线线平行.(3)性质定理的主要作用:证明直线与
4、直线平行,作空间中的平行线.,类型一:利用平面与平面平行的性质定理证明线线平行【典例1】如图所示,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,求证:四边形BED1F是平行四边形.,【解题指南】先证明四点B,E,D1,F四点共面,再由平面与平面平行的性质定理,证明四边形BED1F为平行四边形.,【证明】取D1D的中点G,连接EG,GC,因为E为AA1的中点,G为D1D的中点,所以GE AD,而AD BC,所以EG BC,所以四边形BEGC为平行四边形,所以BE CG,又G,F分别为D1D,C1C的中点,所以D1G FC,所以四边形D1GCF为平行四边形,所以D1F
5、CG,所以BE D1F,所以E,B,F,D1四点共面.,又因为平面ADD1A1平面BCC1B1,平面EBFD1平面ADD1A1=ED1,平面EBFD1平面BCC1B1=BF,所以ED1BF,所以四边形BED1F是平行四边形.,【规律总结】证明线线平行的四种常用方法(1)定义法:在同一平面内没有公共点的两直线平行.(2)平行公理:ab,bcac.(3)线面平行的性质定理: (4)面面平行的性质定理:,【巩固训练】如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,若过A,C,B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与AC的关系是_.【解析】因为平面ABCD平面A1B1C1D1,则由面面平行的性
6、质可知lAC.答案:平行,【补偿训练】如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,D1是B1C1的中点,设平面A1D1B平面ABC=l1,平面ADC1平面A1B1C1=l2.求证:l1l2.,【证明】由棱柱的性质知,平面ABC平面A1B1C1,又因为平面A1D1B平面ABC=l1,平面A1D1B平面A1B1C1=A1D1,所以A1D1l1,同理ADl2,因为D1,D分别是B1C1和BC的中点,所以D1D B1B,又B1B A1A,所以AA1DD1,所以四边形AA1D1D是平行四边形,所以A1D1AD,故l1l2.,类型二:利用平面与平面平行的性质定理证明线面平行【典例2】如图所
7、示,两条异面直线BA,DC与两平行平面,分别交于点B,A和D,C,点M,N分别是AB,CD的中点,求证:MN平面.【解题指南】可先过点A作CD的平行线AE,由面面平行的性质得线线平行,进而求证线面平行.,【证明】如图,过点A作AECD交于点E,取AE的中点P,连接MP,PN,BE,ED.因为AECD,所以AE,CD确定平面AEDC.则平面AEDC=DE,平面AEDC=AC,因为,所以ACDE.又P,N分别为AE,CD的中点,所以PNDE,PN,DE,所以PN.,又M,P分别为AB,AE的中点,所以MPBE,且MP,BE.所以MP,所以平面MPN.又MN平面MPN,所以MN平面.,【延伸探究】1
8、.(变换条件、改变问法)本题中,若将条件“两条异面直线BA,DC”改为“两条共面直线BA,DC”其他条件不变,证明:MN平面.,【证明】因为AB,CD在同一平面内,则平面ABDC与,的交线为BD,AC.因为,所以ACBD.又因为M,N为AB,CD的中点,所以MNBD.又因为BD平面,所以MN平面.,2.(变换条件、改变问法)本题中,若将条件“两条异面直线BA,DC与两平行平面,分别交于点B,A和D,C,M,N分别是AB,CD的中点”改为“与三个平行平面,分别交于A,B,C和D,E,F”,求证:,【证明】如图,连接AF,交于G,连接BG,EG,则由得BGCF,即 由得GEAD,即 所以,【规律总
9、结】把握面面平行性质定理的关键(1)成立的条件:两平面平行,第三个平面与这两个平面均相交.(2)定理的实质:面面平行线线平行,体现了转化思想与判定定理交替使用,可实现线面、线线、面面平行间的相互转化.,【补偿训练】如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点.设F是棱AB的中点,证明:直线EE1平面FCC1.【解题指南】利用面面平行的判定定理证明平面ADD1A1平面FCC1,再推出线面平行.,【证明】因为F为AB的中点,CD=2,AB=4,ABCD,所以CD AF,因此四边形AFCD为平行
10、四边形,所以ADFC.又CC1DD1,FCCC1=C,FC平面FCC1,CC1平面FCC1,ADDD1=D,AD平面ADD1A1,DD1平面ADD1A1,所以平面ADD1A1平面FCC1.又EE1平面ADD1A1,EE1平面FCC1,所以EE1平面FCC1.,类型三:面面平行的性质定理的综合应用【典例3】已知:如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.若平面BC1D平面AB1D1,求 的值.,【解题指南】连接A1B交AB于点O,连接OD1,根据平面BC1D与平面AB1D1平行的性质定理可知BC1D1O,同理AD1DC1,根据比例关系即可求出所求.,【解析】如图,
11、连接A1B交AB1于点O,连接OD1.由棱柱的性质,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.因为平面BC1D平面AB1D1,且平面A1BC1平面BDC1=BC1,平面A1BC1平面AB1D1=D1O,所以BC1D1O,所以D1为线段A1C1的中点.所以D1C1= A1C1.,因为平面BC1D平面AB1D1,且平面AA1C1C平面BDC1=DC1,平面AA1C1C平面AB1D1=AD1,所以AD1DC1.又因为ADD1C1,所以四边形ADC1D1是平行四边形,所以AD=C1D1= A1C1= AC,所以 =1.,【规律总结】应用平面与平面平行的性质定理的四个步骤(1)审条件:审
12、题看是否有平面与平面平行.(2)找平面:找(或作)第三个平面与已知两个平面相交.(3)定交线:确定交线的位置.(4)得平行:得两条交线互相平行.,【巩固训练】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面A1B1C1,若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE平面AB1C1?证明你的结论.【解题指南】先判断E点位置,再利用面面平行的性质进行证明.,【解析】当E为棱AB的中点时,DE平面AB1C1,证明如下:如图,取BB1的中点F,连接EF,FD,DE,因为D,E,F分别是CC1,AB,BB1中点,所以EFAB1,又因为AB1平面AB1C1,EF平面AB1C1,所以EF平面AB1C1,因为BCC1B1为平行四边形,F,D为BB1,CC1的中点,所以FDB1C1,又因为B1C1平面AB1C1,FD平面AB1C1,所以FD平面AB1C1,又因为EFFD=F,所以平面EFD平面AB1C1,因为DE平面DEF,所以DE平面AB1C1.,【补偿训练】已知,点P是平面,外一点,且PB=A,PB=B,PD=C,PD=D.如图,PA=4,AB=5,PC=3,则PD=_.,【解析】由题意知,平面PBD=AC,平面PBD=BD,因为,所以ACBD,所以 所以PD=PC+CD= 答案:,
