1、2.3.2平面与平面垂直的判定,1.二面角,做一做1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的平面角的大小是.答案:452.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直,记作 .(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.,(3)判定定理.,做一做2在三棱锥P-ABC中,已知PAPB,PBPC,PCPA,如图,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有对.解析:平面PAB平面PAC,平面PAB平面PBC,平面PAC平面PBC.答案:3,思考辨析判断下列说法是否正确,
2、正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有无数个. ()(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补. ()(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角. ()(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. (),探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,证明两个平面垂直【例1】 如图,已知BSC=90,BSA=CSA=60,又SA=SB=SC.求证:平面ABC平面SBC.思路分析:方法一:取BC的中点D,证出ADS为二面角A-BC-S的平面角,通过计算得到AD
3、S=90.方法二:先证出点A在平面SBC上的射影D为SBC的外心,即为斜边BC的中点,再证AD平面SBC.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,证明:(方法一)BSA=CSA=60,SA=SB=SC,ASB和ASC是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,令其值为a,则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图,连接AD,SD,则ADBC,SDBC,ADS为二面角A-BC-S的平面角.在RtBSC中,SB=SC=a,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,(方法二)SA=SB=SC,且BSA=CSA=60,SA=AB=AC,点A在平面SBC上的射影为SBC的
4、外心.SBC为直角三角形,点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点,AD平面SBC.又AD平面ABC,平面ABC平面SBC.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练1在本例中,若SA=SB=SC=2,其他条件不变,如何求三棱锥S-ABC的体积呢?解:由方法一或方法二可得SDAD.SDBC,ADBC=D,SD平面ABC,即SD的长就是顶点S到底面ABC的距离.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,求二面角的大小【例2】导学号96640052如图,已知四边形ABCD是正方形,PA平面ABCD
5、.(1)二面角B-PA-D平面角的度数为;(2)二面角B-PA-C平面角的度数为.思路分析:先依据二面角的定义找相应二面角的平面角,然后借助三角形的边角关系求二面角的平面角的某一三角函数值,最后指出二面角的平面角的大小.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解析:(1)PA平面ABCD,ABPA,ADPA.BAD为二面角B-PA-D的平面角.又由题意BAD=90,二面角B-PA-D平面角的度数为90.(2)PA平面ABCD,ABPA,ACPA.BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形,BAC=45.即二面角B-PA-C平面角的度数为45.答案:(1)90(2)45,
6、探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练2在题设条件不变的情况下,若PA=AD,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小.解:CD平面PAB,过P作CD的平行线l,如图,由PACD,CDAD,PAAD=A,知CD平面PAD,从而CDPD.又CDl,lPD.DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角,为45.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,垂直关系的综合应用【例3】导学号96640053如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的
7、正方形,侧棱PD=a,PA=PC= a.(1)求证:PD平面ABCD;(2)求证:平面PAC平面PBD;(3)求证:二面角P-BC-D是45的二面角.思路分析:(1)转化为证明PDDC与PDAD;(2)转化为证明AC平面PBD;(3)先证出PCD为二面角P-BC-D的平面角.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,证明:(1)PD=a,DC=a,PC= a,PC2=PD2+DC2.PDDC.同理可证PDAD.又ADDC=D,PD平面ABCD.(2)由(1)知PD平面ABCD,PDAC.而四边形ABCD是正方形,ACBD.又BDPD=D,AC平面PBD.同时AC平面PAC,平面PAC平面P
8、BD.(3)由(1)知PDBC,又BCDC,BC平面PDC.BCPC.PCD为二面角P-BC-D的平面角.在RtPDC中,PD=DC=a,PCD=45.二面角P-BC-D是45的二面角.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,错认二面角的平面角典例如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,四边形ABCD是正方形,且PA=2AD,二面角P-CD-A的平面角为,则tan =.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,错解:连接AC,PA平面ABCD,PCA是二面角P-CD-A的平面角,PCA=,在PAC中,PAAC,探究一,探究二,探
9、究三,思维辨析,当堂检测,错因分析:错解中,错认为PCA是二面角P-CD-A的平面角,其实不然,其原因在于PC,AC与二面角P-CD-A的棱CD不垂直.正解:PA平面ABCD,CD平面ABCD,CDPA.又CDAD,且PAAD=A,CD平面PAD.PD平面PAD,CDPD,PDA是二面角P-CD-A的平面角.在RtPAD中,PAAD,PA=2AD,答案:2,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2 ,CC1= ,二面角C1-BD-C的大小为.解析:如图,连接AC交BD于点O,连接C1O.
10、C1D=C1B,O为BD中点,C1OBD.ACBD,C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,答案:30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1,2,3,4,1.对于直线m,n和平面,能得出的一个条件是()A.mn,m,nB.mn,=m,nC.mn,n,mD.mn,m,n解析:mn,n,m.又m,.答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1,2,3,4,2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-BC-D的平面角的大小为()A.30B.45C.60D.90,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1,2,3,4,解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中
11、,BCCD,BCCC1,CDCC1=C,BC平面D1C.又D1C平面D1C,BCD1C,D1CD是二面角D1-BC-D的平面角.在D1CD中,D1DCD,D1D=CD,D1CD=45.即二面角D1-BC-D的平面角的大小是45.答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1,2,3,4,3.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有.解析:设平面外的点为A,平面内的点为B,过点A作面的垂线l.若点B恰为垂足,则所有过AB的平面均与垂直,此时有无数个平面与垂直;若点B不是垂足,则l与点B确定唯一平面满足.答案:1个或无数个,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1,2,3,4,4.正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是.解析:如图所示,设正四面体ABCD的棱长为1,顶点A在底面BCD上的射影为O,连接DO并延长交BC于点E,连接AE,则E为BC的中点,故AEBC,DEBC,AEO为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角.,
