1、14、整式乘法与因式分解,本章知识导引,整式,整式的概念,单项式多项式,系数次数项次数,整式的运算,整式乘法,互逆运算,整式除法,因式分解,概念方法,同类项合并同类项,整式加减,幂的运算单项式乘单项式单项式乘多项式多项式乘多项式乘法公式,提公因式法公式珐,互逆变形,知识要点:一、幂的4个运算性质,二、整式的乘、除,三、乘法公式,四、因式分解,考查知识点：（当m,n是正整数时）1、同底数幂的乘法：am an = am+n 2、同底数幂的除法：am an = am-n ； a0=1(a0)3、幂的乘方: (am )n = amn 4、积的乘方: (ab)n = anbn,解此类题应注意明确法则及各
2、自运算的特点，避免混淆,知识点一,例2 计算：(-2x2)3=_本题中积的乘方运算是通过改变运算顺序进行的，即将各个因式的积的乘方转化为各个因式的乘方的积，前者先求积后乘方，后者则先乘方再求积例3 计算： (-1)2009+0= 零指数的考查常常与实数的运算结合在一起，是易错点,-8x6,0,2.若10x=5,10y=4,求102x+3y-1 的值.,3.计算：0.251000（-2）2000,注意点：,（1）指数：加减,乘除,转化,（2）指数：乘法,幂的乘方,转化,（3）底数：不同底数,同底数,转化,1.(x-3)x+2=1,x+2=0,x=-2,原式=102x103y10=(10x)2(1
3、0y)310, 0.5（-2）2000=,a0=1(a0),知识点2 整式的乘除法相关知识：单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，单项式除以单项式，多项式除以单项式常见题型有填空题、选择题和计算与化简求值等低中档题,例(1)计算： 2x3(-3x)2=_ (2)计算： 6m3(-3m2)=_. 单项式的乘除法中若有乘方、乘除法等混合运算，应按“先算乘方，再算乘除法”的顺序进行在进行单项式的乘除法运算时，可先确定结果(积或商)的符号，再按法则进行计算,18x5,-2m,乘法公式复习,计算：(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)(1-x)(1+x)(1+x2)(1-x4
4、)(x+4y-6z)(x-4y+6z)(x-2y+3z)2,平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2,三数和的平方公式：(a+b+c)2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc,知识点三,=(1-x2)(1+x2)(1+x4)=(1-x4)(1+x4)=1-x8,(1-x)(1+x)(1+x2)(1-x4),(x+4y-6z)(x-4y+6z),=x+(4y-6z)x-(4y-6z)=x2-(4y-6z)2=x2-(16y2-48yz+36z2)=x2-16y2+48yz-36z2,(x-2y+3z)2,=(
5、x-2y)+3z2=(x-2y)2 +6z(x-2y)+9z2=x2-4xy+4y2+6zx-12yz+9z2=x2+4y2+9z2-4xy+6zx-12yz,三数和的平方公式：(a+b+c)2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc,(1)98102=(100-2)(100+2)=1002-22=9996,(2)2992 =(300-1)2=3002-23001+1=90401,(3) 20062-20052007,=20062-(2006-1)(2006+1)=20062-(20062-12)=20062-20062 +1=1,活用乘法公式求代数式的值,1 、已知a+b=5 ，ab=
6、-2， 求（1） a2+b2 （2）a-b,a2+b2=(a+b)2-2ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab,2、已知a2-3a+1=0，求（1） （2）,3、已知 求x2-2x-3的值,1、因式分解意义：,因式分解问题归纳小结,和,积,2、因式分解方法：,一提,二套,三看,二项式：,套平方差,三项式：,套完全平方与十相乘法,看：,看是否分解完,3、因式分解应用：,提：,提公因式,提负号,套,知识点四,典型题例1：幂的运算法则在特殊计算中的巧用,方法：先把底数相乘等于整数1或-1的幂相乘。,针对练习：,典型题例2：幂的运算法则在求字母（式子）值中的应用,方法：对要求的式子进行转化，利用幂的
7、计算法则变形成我们已知的式子。,针对练习：,典型题例3：乘法公式的运用,方法：先利用乘法公式进行化简，再带入求值。,针对练习：,典型题例4：因式分解的方法-先提再套,方法：先利用提取公因式法提取公因式，再利用平方差因式分解。,针对练习：,典型题例4：因式分解的方法-先展开再分解,针对练习：,典型题例4：因式分解的方法-拆、添项法,针对练习：,例：已知a、b、c 为三角形的三边长，且满足 ，试判断三角形的形状，并说明理由,典型例题5：,解：,由题意知：,因为,所以,解得：,所以：三角形为直角三角形,针对练习：,找规律问题1,观察:,请你用正整数n的等式表示你发现的规律 _.,正整数n,典型例题6
8、：,设 (n为大于0的自然数). 探究an 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；,两个连续奇数的平方差是8的倍数,方法：要根据序数找规律,找规律问题2,观察下列各组数,请用字母表示它们的规律,n是正整数,找规律问题3,观察下列各组数,请用字母表示它们的规律,n是正整数,【知识树】,分式,B,2,1,【归纳总结】,典型例题1：,分式的意义理解：,分式无意义：分母为零,分式有意义：分母不为零,分式值为零：分子为零且分母不为零,分式值为正数：分子、分母同号,分式值为负数：分子、分母异号,分式的意义：,A.5,B.4,C.3,D.2,D,B,2,专项练习：,B,A,【归纳总结】,公因式,约
9、分：约去公有的因式,分式的基本性质：乘以相同的因式,典型例题2：分式基本性质及运用,D,A.变为原来的20倍,B.变为原来的10倍,D.不变,B,专项练习：,关键词：最简公分母，分式的基本性质。,分式的运算,（1）,解：=,=,=,=,先因式分解，再通分（确定最简公分母）。,关键：确定运算顺序,1.分式加减运算,2.分式乘除及乘方运算,典型例题3：,3.分式的混合运算,4.负整数指数幂的运算,负整数指数幂的运算法则与正整数指数幂的运算法则相同。,【归纳总结】,加减,括号内,最简,整式,乘方,乘除,B,D,3b,专项练习：,（3）,解：, a=3,典型例题4：化简求值,知识点：分式的混合运算在化
10、简求值中的应用。方法：先化简，再代入。,直接化简求值,知识点：分式化简求值。 转化的思想。,方法：（1）先把等式变形，利用非负性求出a,b值。（2）分式化简（3）代入求值。,化简后转化求值,3,方法：利用分式的基本性质转化，可用整体代入法求解。,运用公式化简求值,（3）,专项练习：,D,知识点：分式方程识别标准：一是方程，二是分母中含有未知数。,典型例题5：分式方程及解方程,c,注意：解分式方程时，由于去分母时方程两边同乘以最简公分母，它是一个整式，有可能等于0，因此一定要验根。,解下列方程,专项练习：,1、一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑
11、车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?,解：设队伍的速度为x，骑车的速度为2x,则,解得x=15,经检验x=15是原方程的解。,答：这名学生追上队伍用了0.5小时。,列分式方程解应用题,典型例题6：,常见的相等关系：,(1)、相遇问题 ：甲行程 + 乙行程 =全路程,(2)、追及问题： (设甲的速度快),1)、同时不同地： 甲用的时间 = 乙用的时间 甲的行程 - 乙的行程 = 甲乙原来相距的路程,2)、同地不同时： 甲用的时间 = 乙用的时间 - 时间差 甲走的路程 = 乙走的路程
12、,3)、水(空)航行问题 ： 顺流速度 = 静水中航速 + 水速 逆流航速 = 静水中速度 水速,1、行程问题 ：,路程=速度时间，即s=vt,2、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?,解：设步行每小时行x千米，骑车每小时行（x+8)千米，则,解得x=4,404=10(小时）,经检验x=4是方程的解。,答：他步行40千米用10个小时。,专项练习：,例2、一项工程，若甲单独做，刚好在规定日期内完成，若乙单做，则要超过规定时间6天完成；现甲乙两人合作4天后，剩下工程由乙 单独做，刚好在规定日期内完成。问规定日期是
13、几天？,分析：设工作总量为1，工效 X 工时= 工作量,设规定日期为 x 天，则甲乙单完成各需x天、(x+6)天，甲乙,的工效分别为,(1)、相等关系：甲乙合做4天的量+乙单独做(x-4)天的量=总量1,列出方程：,(2)、相等关系：甲 做工作量+乙做工作量=1,列出方程得：,例2、一项工程，若甲单独做，刚好在规定日期内完成，苦乙单做，则要超过规定时间6天完成；现甲乙两人合作4天后，剩下工程由乙 单独做，刚好在规定日期内完成。问规定日期是几天？,解：设规定日期为x天，根据题意得,解得 x=12,经检验，x=12是原方程的解。答：规定日期是12天。,2、工程问题,基本量之间的关系：,工作量 =
14、工作效率 X 工作时间,常见等量关系：,甲的工作量+乙的工作量 = 合作工作量,注：工作问题常把总工程看作是单位1，水池注水问题也属于工程问题,甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？,解：设甲每小时做x个零件则乙每小时做（ x 6）个零件， 依题意得：,经检验X=18是原方程的根。,答：甲每小时做18个，乙每小时12个,请审题分析题意设元,我们所列的是一个分式方程，这是分式方程的应用,由x18得x6=12,等量关系：甲用时间=乙用时间,专项练习：,第3讲 分式,探究二 探究分式运算中的开放题,中考点金,考题自主训练与名师预测,A,A,D,B,C,B,A,
