1、2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定,【阅读教材】根据下面知识结构图阅读教材,并识记直线与平面、平面与平面平行的判定定理.,【知识链接】1.直线与平面平行的定义:直线与平面没有公共点.2.平面与平面平行的定义:两个平面没有公共点.,主题一:直线与平面平行的判定定理【自主认知】根据下述现象探究有关问题:门扇的竖直两边是平行的,当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭,不论转动到什么位置,它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系.,1.上述问题中存在着一些不变的位置关系分别有哪些?提示:能活动的竖直一边所在直
2、线与固定的竖直边所在直线平行;固定的竖直边所在直线始终在平面(墙面)内;能活动的竖直一边所在直线与平面(墙面)平行.2.若判断直线与平面平行,由上述问题你能得出一种方法吗?提示:能,只需在平面内找一条与平面外直线平行的直线即可.,根据以上探究过程,试着写出直线与平面平行的判定定理:,平面外一条直线与此平面内,的一条直线平行，则该直线与此平面平行,a，b且aba,【合作探究】1.此定理中涉及几个量?若利用此定理判断线面平行,需要几个条件?提示:此线面平行的定理中涉及了三个量分别为直线a,b与平面,而利用此定理判断线面平行时,需要三个条件分别为a,b,ab.2.直线与平面平行的判定定理中条件a是否
3、可以去掉?提示:定理中条件a必不可少,若没有这个条件,不一定得到a,可能直线a在平面内.,【过关小练】1.能保证直线a与平面平行的条件是()A.b,abB.b,c,ab,acC.b,A,Ba,C,Db,且ACBDD.a,b,ab【解析】选D.根据直线与平面平行的判定定理知D正确.,2.若m,nm,则()A.nB.n与相交C.nD.n或n【解析】选D.若直线n在平面外,则n,若直线n在平面内,则n.,主题二:平面与平面平行的判定定理【自主认知】1.三角板的一边所在直线与桌面平行,这个三角板所在平面与桌面平行吗?提示:通过试验得出不一定平行,有可能相交.2.若三角板的两边所在直线分别与桌面平行,情
4、况又如何呢?提示:当三角板的两边所在直线分别与桌面平行时,这个三角板所在平面与桌面平行.,3.问题2给出了判断两平面平行的一种怎样的方法?提示:在一个平面内找两条相交线,分别平行于另一个平面即可.,根据以上探究过程,试着写出两平面平行的判定定理.,一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行,a,b,ab=P,a,b,【合作探究】1.若将条件中的ab=P去掉,则平面与平面一定平行吗?提示:不一定.因为满足条件的两个平面可能相交,也可能平行.当ab时,如图平面内的两条直线均平行于平面,但平面与平面有两种位置关系.,2.若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行吗?
5、提示:不一定.也可能相交,如图a1a2a3an且都平行于平面,但与相交.,【拓展延伸】立体几何中的转化思想通过直线间的平行,推证直线与平面平行.再通过直线与平面的平行,推证平面间的平行.这是处理空间位置关系的一种常用方法,即将直线与平面平行关系、平面与平面平行关系(空间问题)转化为直线间平行关系(平面问题),这就是立体几何中常用的重要数学思想转化思想.,【过关小练】1.一个平面内两条不平行的直线都平行于另一平面,则与的位置关系是_.【解析】平面内两条不平行的直线一定相交,故由判定定理可得.答案:,2.已知平面,和直线a,b,c,且abc,a,b,c,则与的关系是_.【解析】b,c,a,abc,
6、若时满足要求;若=l,bcl,al时满足要求,故与平行或相交.答案:平行或相交,【归纳总结】1.对直线与平面平行的判定定理的三点说明(1)定理可简化为:线线平行线面平行.(2)定理中三个条件缺一不可.(3)定理的作用是证明线面平行,体现了等价转化的思想,将线面平行问题转化为线线平行问题.,2.对平面与平面平行的判定定理的三点说明(1)定理可简化为:线面平行面面平行.(2)定理中五个条件缺一不可.(3)定理的作用是证明面面平行,证明的关键是在一个平面内找两条相交直线都与另一个平面平行.,类型一:直线与平面平行的判定【典例1】(2015济南高一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形
7、,E,F分别是PB,PC的中点.证明:EF平面PAD.,【解题指南】由三角形中位线定理知EFBC,又BCAD,从而EFAD,得出结论.【证明】在PBC中,E,F分别是PB,PC的中点,所以EFBC.又四边形ABCD为矩形,所以BCAD,所以EFAD.又因为AD平面PAD,EF平面PAD,所以EF平面PAD.,【规律总结】用判定定理证明直线与平面平行的步骤:,【巩固训练】如图,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E,F分别是AB,PD的中点.求证:AF平面PCE.,【证明】取PC的中点M,连接ME,MF,则FMCD且FM= CD.又因为AECD且AE= CD,所以FM AE,即四边形AFME是
8、平行四边形.所以AFME,又因为AF平面PCE,EM平面PCE,所以AF平面PCE.,【补偿训练】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是BC和A1B1的中点.求证:MN平面AA1C1C.,【证明】设A1C1的中点为F,连接NF,FC,因为N为A1B1的中点,所以NFB1C1,且NF= B1C1.又由棱柱性质知B1C1 BC,又M是BC的中点,所以NF MC,所以四边形NFCM为平行四边形.所以MNCF,又CF平面AA1C1C,MN平面AA1C1C,所以MN平面AA1C1C.,类型二:平面与平面平行的判定【典例2】如图,在四棱锥P-ABCD中,E,F,G分别是PC,PD,BC的中
9、点.求证:平面PAB平面EFG.【解题指南】利用三角形中位线定理找平行线,再利用面面平行的判定定理推出结论.,【证明】因为E,G分别是PC,BC的中点,所以EGPB,又因为EG平面PAB,PB平面PAB,所以EG平面PAB,同理可证:EF平面PAB,因为EGEF=E,所以平面PAB平面EFG.,【延伸探究】1.(改变问法)本题条件不变,作出平面EFG与平面PAD、平面ABCD的交线.【解析】取AD中点H,连GH,FH.因为E,F分别为PC,PD中点,故EFCD,又G,H分别为BC,AD中点,所以GHCD,所以EFGH,即四点E,F,H,G共面,所以平面EFG平面PAD=FH,平面EFG平面AB
10、CD=GH.,2.(改变问法)本题条件不变,求证:FG平面PAB.【证明】由本题解答知平面EFG平面PAB,所以两平面没有公共点,又FG平面EFG,所以FG与平面PAB无公共点,所以FG平面PAB.,【规律总结】常见面面平行的判定方法(1)定义法:两个平面没有公共点.(2)判定定理法:转化为线面平行.(3)平行平面的传递性:两个平面都和第三个平面平行,则这两个平面平行.(4)利用平面与平面平行的判定定理的推论:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行.,【补偿训练】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1
11、D1,D1A1的中点.求证:(1)E、F、B、D四点共面.(2)平面MAN平面EFDB.,【证明】(1)连接B1D1,因为E,F分别是边B1C1,C1D1的中点,所以EFB1D1.而BDB1D1,所以BDEF.所以E,F,B,D四点共面.,(2)易知MNB1D1,B1D1BD,所以MNBD.又MN平面EFDB,BD平面EFDB.所以MN平面EFDB.连接MF.因为M,F分别是A1B1,C1D1的中点,所以MFA1D1,MF=A1D1.所以MFAD,MF=AD.所以四边形ADFM是平行四边形,所以AMDF.,又AM平面BDFE,DF平面BDFE,所以AM平面BDFE.又因为AMMN=M,所以平面
12、MAN平面EFDB.,类型三:线面、面面平行的判定定理的综合应用【典例3】(2015南阳高一检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点.求证:(1)直线EG平面BDD1B1.(2)平面EFG平面BDD1B1.,【解题指南】(1)只需证明EGSB,再利用线面平行的判定定理证明.(2)由(1)再需证明FG平面BDD1B1即可.【证明】(1)如图,连接SB,因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EGSB.又因为SB平面BDD1B1,EG平面BDD1B1.所以直线EG平面BDD1B1.,(2)连接SD,因为F,G分别是DC,SC的中点,
13、所以FGSD.又因为SD平面BDD1B1,FG平面BDD1B1,所以FG平面BDD1B1.又EG平面BDD1B1,且EG平面EFG,FG平面EFG,EGFG=G,所以平面EFG平面BDD1B1.,【规律总结】证明线面、面面平行的关键及所体现的思想(1)证明直线与平面平行问题的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线;证明平面与平面平行的关键是证明一个平面内的两条相交直线都和另一个平面平行.(2)证明面面平行需要转化为证明线面平行,证明线面平行可转化为证明线线平行,转化为在一个平面内考虑两条直线的平行问题,这就是空间问题平面化的数学思想.,【巩固训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C
14、1D1中,E,F,G,H分别是BC,CC1,C1D1,A1A的中点.求证:(1)BFHD1.(2)EG平面BB1D1D.(3)平面BDF平面B1D1H.,【解题指南】(1)取BB1的中点M,利用平行四边形证明.(2)在面内找GE的平行线.(3)借助(1)和面面平行的判定定理证明.【证明】(1)如图所示,取BB1的中点M,易证四边形HMC1D1是平行四边形,所以HD1MC1.又因为MC1BF,所以BFHD1.,(2)取BD的中点O,连接EO,D1O,则OE DC,又D1G DC,所以OE D1G,所以四边形OEGD1是平行四边形,所以GED1O.又因为D1O平面BB1D1D,所以EG平面BB1D1D.,(3)由(1)知D1HBF,又BDB1D1,B1D1,HD1平面HB1D1,BF,BD平面BDF,且B1D1HD1=D1,DBBF=B,所以平面BDF平面B1D1H.,【补偿训练】如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,M是PA的中点.求证:平面PCD平面MBE.,【证明】连接AD交BE于点G,连接MG,则点G是正六边形的中点,所以G是线段AD的中点,因为M是PA的中点,所以MGPD.因为PD平面MBE,MG平面MBE,所以PD平面MBE.因为DCBE,DC平面MBE,BE平面MBE,所以DC平面MBE.因为PDDC=D,所以平面PCD平面MBE.,
