1、高一年级第一学期期末考试数学模拟试卷【江苏版】一、 填空题. 设a,b为单位向量，且a,b的夹角为2，则a的值为 .3b b【答案】 12cos 211 .【解析】a b b abb21 11，故答案为322. 某班共有40 人，其中18人喜爱篮球运动，20 人喜爱乒乓球运动，12 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为【答案】 8【解析】（ （） （人）；答：既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为人；故答案为：.已知幂函数fxxa 的图像经过点2,2 ，则 f4 的值为【答案】【解析】设幂函数的解析式为：11f x x ，则： 22,1，即：2fxx2 , f442
2、2 .设集合 M x, y | yx1 ，N x, y | yx1 ，则 MN .【答案】 （） 点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性. 研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步. 第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集. 在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零. 元素与集1 / 10合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 函数 ysin 2 x的最小正周期为3【答案】【解析】函数的解析式为 y sin 2
3、x，函数的最小正周期为 T2，综上所述，答案32为.在中，则【答案】【解析】如图所示，由平面向量数量积的定义可得：.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用. 已知扇形的中心角为，所在圆的半径为10cm，则扇形的弧长等于 cm .【答案】 10331【解析】扇形圆心角的度数6036036则弧长为圆周的11063故扇形的弧长等于10cm3.函数 () 的最大值为【答案】2 / 10【解析】，最大值为.已知方程 2x4x 的根在区间k,k1kZ 上，则 k 的值为【答案】 1【解析】 设
4、 fx2xx4 ，则 fx 在,上递增， 又f 110 ，f220 ，方程的根在1,2 上，即 k1，故答案为 1.【方法点睛】判断函数yfx 零点个数的常用方法：()直接法：令 fx0, 则方程实根的个数就是函数零点的个； ()零点存在性定理法： 判断函数在区间a,b 上是连续不断的曲线， 且 fa f b0,再结合函数的图象与性质( 如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；()数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确
5、定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.已知，则【答案】【解析】由题意可得：，则：.点睛：熟悉三角公式的整体结构，灵活变换本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形.已知向量 a,b 满足 ab2 ，且 aba6 ，则 a 与 b的夹角为 .【答案】23【解析】设 a 与 b的夹角为，因为ab2 ，则由 aba6 得，3 / 10a b cos24cos46 ，可得 cos1,2，故答案为 2.a233. 已知偶函数f
6、x 在 0,单调递减， f 20. 若 fx1 0 ，则 x 的取值范围是【答案】（，）考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质exk , x0是 R 上的增函数，则实数k 的取值范围为. 已知函数 f ( x)(1 k )x k , x 0【答案】 1 ,1)2【解析】试题分析：由题意可知1k01e0kkk 12考点：分段函数单调性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过原点的直线与函数y 3 x 的图象交于，两点，过作轴的垂线交函数y9x 的图象于点，若平行于轴，则点的坐标是【答案】log3 2,24 / 10考点：指数函数的图象与性质及其应用【方法点睛】本题考查了指数函数的图象与性质及其应
7、用，指数、对数函数的运算，直线的斜率公式，三点共线的判定方法等知识的综合应用，综合性较强，属于中档试题，解答的关键是牢记上述各个性质，加强分析问题和解决问题的能力的培养，本题解答中设出点、的坐标，根据图象和解析式求出点的坐标，由、三点共线，利用斜率相等、指数、对数的运算球的点的坐标二、解答题. 已知 A x | x 22x 30 ， Bx x25x 6 0，（）求 AB ；（）若不等式x2ax b0 的解集是 A B ，求 ax 2x b 0 的解集 .【答案】（） x | 1x 2 ；（） x | x1或x2 【解析】试题分析： （）由一元二次不等式的解法分别求出集合，再利用集合的交集即可求
8、出答案；（）由一元二次方程的实数根与不等式的解集的关系，结合（）中结论可先求得、的值，接着将、的值代入不等式中并求解不等式即可 .试题解析：（）由 ，由 或 ， .（）由题意，得，是方程的两根， 1 2a, 1 2 b，解得 - ， - ，不等式 可化为，解得或.的解集为 或 .点睛：本题重点考查了一元二次不等式的解法，熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键. 一元二次5 / 10不等式解法与求一元二次方程的根相似，大体上有十字相乘法，配方法，万能公式法等. 要熟记口诀：大于取两边，小于取中间. 解答本题的关键是得到 ， 或 . 某工厂万元设计了某款式的服装，根据经验，每生产百套该款式服装的
9、成本为万元，每生产x （百套）0.4x24.2x0.8,0x 5的销售额（单位：万元）P x9, x5.14.7x3（）若生产百套此款服装，求该厂获得的利润；（）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润. （注：利润销售额成本，其中成本设计费生产成本）【答案】（）3.7 ；（） 1；（） 3.7 .【解析】试题分析： （）根据题意x 6 时销售额减去成本即可得结果；（）只需考虑0 x 5 时y P x0 ，即 可得 1 x7，从而可得结果； （）两种情况讨论，分别求最大值，再比较大小即可.因为 x 392x3 ?9（当且仅当 x 3
10、9，即 x6 时，取“”），x6x 33x3所以 ymax3.7 （万元），综上，当 x6时，ymax3.7 （万元）答：（）生产百套此款服装，该厂获得利润3.7 万元；（）该厂至少生产百套此款式服装才可以不亏本；（）该厂生产百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7 万元.设 OA, OB 不共线，且OCaOAbOB a, bR .6 / 10（）若 a1 ,b2 ，求证：A, B,C 三点共线；33（）若 A, B, C 三点共线，问：ab 是否为定值？并说明理由 .【答案】（）证明见解析； （） a b1.【解析】试题分析： （）将 a12bOB ，化简可得 2BCCA ，即可得出
11、结论；,b代入 OC aOA33a1b 为定值 .（）根据向量共线的性质可得，进而可得 ab（） ab 为定值 ，证明如下：因为 A, B, C 三点共线，所以AC / / AB ，不妨设 ACABR ，所以 OCOAOBOA ，即 OC1OAOB ，又 OCaOAbOB ，且 OA, OB 不共线，a1由平面向量的基本定理，得，b所以 ab1 （定值）. 已知向量 a 1,2sin, b sin,1 ,R.3（）若 a b ，求 tan的值；7 / 10（）若 a / /b ，且0,2，求角 .【答案】（） tan3；（）或.562【解析】试题分析： （）由 ab ，可得 a b0 ，化简即
12、可得出； （）利用向量共线定理、三角函数的化简即可 .试题解析：（）因为 ab ，所以 a b0，所以 2sinsin30 ，即 5 sin3 cos0 ，22因为 cos0 ，所以 tan3.5. 已知函数2fx2cos 2x2sin2xcos2x1.（）求函数fx 的单调递增区间；（）求函数fx 的最大值，并求取到最大值时的x 的集合 .【答案】（）3k,k（ k Z）（）2 2 ， x | xk, k Z162221616【解析】试题分析： （）先根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数形式fx2sin4x2 ，再利用正弦函数性质求单调区间，（）利用正弦函数性质求最值，并由48 /
13、 104x2k（ kZ ）确定自变量取法42（） fx 的最大值为 22 ；当且仅当 4x2k（ k Z ）时取得最大值，42k , k Z此时取到最大值时的x 的集合为 x | x162点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则() 一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；() 二看“函数名称” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；() 三看“结构特征” ，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等. 已知函数 fxx1 ， gxf 22 x .x1（）求证：函数fx在 0,上是单调增函数；
14、（）判断函数ygxx3的奇偶性，并说明理由；（）若方程 gxk1 0 有实数解，求实数 k 的取值范围 .【答案】（）见解 析；（）偶函数；（） 0k2【解析】试题分析： （）任取 x10,，x20,且 x1x2 ，利用函数单调性的定义即可证明函9 / 10数 fx 在 0,上是单调增函数；（）函数 Fx 的定义域为 D,00,，验证 F x Fx 即可证明函数gx为F x3x偶函数；（）由题意得：g x2可证1 g x1，则方程 g xk 1 0 有实数解，即122 x1g x k1 ，即1k 1 1，可得实数 k 的取值范围（）函数 Fxgx为偶函数，函数Fx的定义域为D,00,，x322 x11114x4x12 x对于任意的 xD ，F x232 x11x31 4xx3 4xF x ，x 2x31122 x所以函数 Fxgx为偶函数 .x3（）由题意得： ，因为，所以， ，； 又方程有实数解，则，则，即 .10 / 10
