1、第四章圆与方程,4.1圆的方程,4.1.1圆的标准方程,1.明确圆的基本要素,能用定义推导圆的标准方程.2.会求圆的标准方程,能够判断点与圆的位置关系.,1,2,1.圆,1,2,名师点拨 1.由圆的标准方程,可直接得到圆心和半径;给出圆心和半径,也可直接写出圆的标准方程.2.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,其中(a,b)为圆心,r为半径.结合圆的定义可知,圆心(a,b)在确定圆时起到定位作用,即影响圆的位置;而半径r在确定圆时起到定形作用,即影响圆的大小.,1,2,【做一做1-1】 圆x2+y2=1的圆心坐标为()A.(0,0)B.(1,1)C.(0,1)
2、D.(1,0)答案:A,1,2,【做一做1-2】 圆(x-1)2+(y+2)2=2的半径为()答案:B,1,2,1,2,1,2,【做一做2 】 已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,点P(x0,y0)在圆C的内部,且d=(x0-1)2+(y0+2)2,则有()A.d2B.0d4D.0d4答案:D,1,2,1.特殊位置的圆的标准方程剖析:如下表所示.,1,2,1,2,函数和圆的联系,丰富了函数概念的内涵,又对圆赋予了代数意义.因此,可以用函数来研究平面几何问题,反过来也可以用平面几何研究函数问题,这充分揭示了数和形的密切联系,体现了数形结合的完美统一.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一
3、,题型二,题型三,题型四,反思判断点与圆的位置关系,可以判断该点与圆心间的距离和圆的半径的大小关系;也可将该点的坐标代入圆的方程判断.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求实数a的取值范围.解:因为点A在圆的内部,所以(1-a)2+(2+a)22a2,所以2a+50).故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思求圆的标准方程的方法:(1)直接法求圆的标准方程的策略:确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手
4、,即先求出圆心的坐标和半径,再写出圆的标准方程.确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等.(2)待定系数法,步骤是:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0);由条件列方程(组)解得a,b,r的值;写出圆的标准方程.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 求下列圆的标准方程:(1)圆心在原点,半径是2;(2)圆心在点(2,-1),且过原点;(3)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2).解:(1)因为圆心为(0,0),半径为2,所以圆的标准方程为x2+y2=4.(2)因为圆心
5、为(2,-1),且过原点,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5.,题型一,题型二,题型三,题型四,(3)因为圆心在y轴上,故可设圆心坐标为(0,b),因为圆的半径为1,且过点(1,2),故圆的标准方程为x2+(y-2)2=1.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思形如(x-m)2+(y-n)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题,体现了转化思想.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 已知实数x,y满足(x-2)2+y2=9,求x2+y2的最大值和最小值.解:根据题意知x2+y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时,其平方也相应取得最大值和最小值.因为原点(0,0)到圆心C(2,0)的距离为2,半径r=3,所以圆上的点到坐标原点的最大距离为2+3=5,最小距离为3-2=1,所以x2+y2的最大值为25,最小值为1.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点:不理解圆的标准方程而致错【例4】 已知圆C:(x-5)2+(y+1)2=3,则圆C的周长等于.错解:易知圆的半径r=3,则周长等于2r=6,故填6.,
