1、2.3.2平面与平面垂直的判定,1.了解二面角及其平面角的概念.2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法.3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理,并能解决有关面面垂直的问题.,1,2,1.二面角,1,2,1,2,名师点拨 1.二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的,与选择棱上的点的位置无关.2.构成二面角的平面角的三要素:“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个条件缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角在同一个平面内,第三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直.,1,2,【做一做1-
2、1】 在二面角-l-的棱l上任选一点O,若AOB是二面角-l-的平面角,则必须具有的条件是 ()A.AOBO,AO,BOB.AOl,BOlC.ABl,AO,BOD.AOl,BOl,且AO,BO解析:根据二面角的平面角的定义可知选D项.答案:D,1,2,【做一做1-2】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,不作辅助线,写出二面角A1-AB-D的一个平面角为.解析:因为AD平面ABD,A1A平面A1AB,ADAB,AA1AB,所以A1AD是二面角A1-AB-D的一个平面角,同理B1BC也是它的一个平面角.答案:A1AD(或B1BC),1,2,2.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果
3、它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直,记作.(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.,1,2,(3)判定定理,1,2,名师点拨 平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.,1,2,【做一做2-1】 在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与平面ABCD垂直的面的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:与平面ABCD垂直的平面有:平
4、面ABB1A1,平面ADD1A1,平面BCC1B1,平面CDD1C1.答案:D,1,2,【做一做2-2】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面ABCD平面BDD1B1.证明:因为BB1AB,BB1BC,ABBC=B,所以BB1平面ABCD.又BB1平面BDD1B1,所以平面ABCD平面BDD1B1.,1,2,1.理解二面角及其平面角剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平面图形转化的思想.(2)二面角的平面角的定义是两条射线的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角的取值范围是0180.(3)两个平
5、面相交,可以构成四个二面角,其中相对的两个二面角相等,相邻的两个二面角互补.,1,2,2.处理翻折问题的关键剖析:处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立体图形进行对比,有哪些位置关系和相关量发生了变化;如果发生变化,那么发生了怎样的变化,还有哪些没有发生变化,切不可混淆不清.例如:在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足AEEB=CFFA=CPPB=12,如图.将AEF沿EF折起到A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连接A1B,A1P,EP,如图.下面探讨平面BA1E是否与平面BEP垂直.,1,2,根据图,由平面几何的知识,可得EFAE,EF
6、BE.在图中,这两个位置关系没有变化,而点A,B,E的相对位置关系发生了变化,翻折前这三点共线,但是翻折后不共线.不妨设正三角形ABC的边长为3,则在图中,取BE的中点D,连接DF.,1,2,因为AEEB=CFFA=12,所以AF=AD=2.而A=60,所以ADF为正三角形.又AE=DE=1,所以EFAD.则在图中,A1EEF,BEEF,所以A1EB为二面角A1-EF-B的一个平面角.所以A1EB=90.所以A1EBE.又BEEF=E,所以A1E平面BEP.因为A1E平面BA1E,所以平面BA1E平面BEP.,题型一,题型二,【例1】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出二面角D1
7、-BC-D的平面角.解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BCCD,BCCC1,CDCC1=C,所以BC平面D1C.又D1C平面D1C,所以BCD1C,所以D1CD是二面角D1-BC-D的平面角.,题型一,题型二,【变式训练1】 如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,其他四个侧面都是等腰三角形,找出二面角V-AB-C的平面角.,题型一,题型二,解:如图,作VO平面ABCD,垂足为O,则VOAB,取AB的中点H,连接VH,OH,则VHAB.因为VHVO=V,所以AB平面VHO,所以ABOH.所以VHO为二面角V-AB-C的平面角.,题型一,题型二,【例2】 如图,把等腰直角三角
8、形ABC沿斜边AB旋转至ABD的位置,使CD=AC,求证:平面ABD平面ABC.,题型一,题型二,题型一,题型二,又AB平面ABC,OC平面ABC,ABOC=O,所以DO平面ABC.又DO平面ABD,所以平面ABD平面ABC.方法二:如图,取AB的中点O,连接OD,OC.则有ODAB,OCAB,即COD是二面角C-AB-D的平面角.设AC=a,则因为CD=AD=AC,所以CD=a,所以CD2=OC2+OD2.所以COD是直角三角形,即COD=90.所以二面角C-AB-D是直二面角,即平面ABD平面ABC.,题型一,题型二,反思1.证明平面与平面垂直的方法有两个:(1)利用定义:证明二面角的平面
9、角为直角;(2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.2.根据面面垂直的定义判定两个平面垂直,实质上是把问题转化成了求二面角的平面角.通常情况下利用判定定理要比定义简单些,这也是证明面面垂直的常用方法,即要证明面面垂直,只需要证明线面垂直.其关键与难点是在其中一个平面内寻找一条直线与另一平面垂直.,题型一,题型二,【变式训练2】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.求证:平面ABM平面A1B1M.,题型一,题型二,证明:由长方体的性质可知A1B1平面BCC1B1,又BM平面BCC1B1,所以A1B1BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BMB1M.又A1B1B1M=B1,所以BM平面A1B1M.因为BM平面ABM,所以平面ABM平面A1B1M.,
