1、3.3.2均匀随机数的产生,1.了解均匀随机数的概念.2.掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法.3.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题.,1.均匀随机数的产生(1)计算器上产生区间0,1上的均匀随机数的函数是_.(2)Excel软件产生区间0,1上的均匀随机数的函数为“_”.,RAND,rand(),2.用模拟方法近似计算某事件概率的方法(1)试验模拟法.制作两个转盘模型,进行模拟试验,并统计试验结果,进行近似计算.(2)计算机模拟法.用_软件产生0,1上的均匀随机数进行模拟,注意操作步骤.,Excel,1.边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影部分,在中央随机撒1粒豆子,它落
2、在阴影部分的概率是0.3,则阴影部分的面积估计为.【解析】设阴影面积为S,则 0.3,所以S1.2.答案：1.2,2.已知b1是0,1上的均匀随机数,b=3(b1-3),则b是区间上的均匀随机数.【解析】因为b1-3是-3,-2上的均匀随机数,所以b是区间-9,-6上的均匀随机数.答案：-9,-6,3.边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影部分,在中央随机撒1 000粒豆子,它落在阴影部分有250粒,则阴影部分的面积估计为.【解析】设阴影面积为S,则 ,所以S1.答案：1,一、均匀随机数的产生探究1：在古典概型中我们可以利用(整数值)随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过
3、随机数来模拟试验呢?如果能,如何产生区间a,b上的均匀随机数?提示：能.(1)利用计算器或计算机产生01之间的均匀随机数x1=RAND.(2)利用伸缩和平移变换：x=x1(b-a)+a,得到区间a,b上的均匀随机数.,探究2：在探究1基础上思考下列问题：(1)整数值随机数与均匀随机数有何异同?提示：均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值,二者都是随机产生的随机数,在一定的区域长度上出现的几率是均等的.不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数,整数值随机数只取区间内的整数.,(2)利用计算机产生100个2,6上的均匀随机数,具体如何操作?提示：在A1A100产生100个01之间的均匀
4、随机数.选定B1格,键入“=A1*4+2”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的2,6上的均匀随机数;选定B1格,拖动至B100,则在B1B100的数都是2,6上的均匀随机数.,【探究总结】1.随机数的用途随机数有很广阔的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我们自己做大量重复试验,我们常用的是0,1上的均匀随机数.2.随机数的特征(1)随机数是在一定范围内产生的.(2)在这个范围内的每个数被取到的可能性相等.,【拓展延伸】随机函数功能键“ran#”操作方法以学生常见的学生专用科学计算器(CASIO Fx-82MS型)为例介绍正确的方法.正常模式下按SHIFTran#=连按=
5、键就能得到0,1内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,就可以用上面的方法产生01之间的均匀随机数.,只不过要产生随机整数,要对计算器的有效位数进行调整,使它小数位为0,也就是说只产生整数运算.操作：正常模式下按MODEMODEMODE10连续按MODE键三下,在出现的选项中选择“Fix”,按键“1”就可,在出现的选项“Fix09”中,按“0”键表示只取整数位.(1)若要产生0,1内的随机整数,操作如下：MODEMODEMODE10SHIFTran#=不停地按=键就会产生大量的01之间的随机整数.,(2)若要产生M,N内的随机整数,操作如下：MODEMODEMODE10SHIF
6、Tran#(N-M)+M=不停地按=键就会产生大量的MN之间的随机整数.,(3)若要产生M,N之间的实数(均匀随机数)首先恢复正常模式,即取消刚才的“整数”运算模式,操作如下：SHIFTCLR3(恢复正常模式)SHIFTran#(N-M)+M=不停地按=键就会产生大量的MN之间的均匀随机数.,二、用随机模拟方法估计概率和不规则图形的面积探究1：向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖N支.,如何利用随机模拟的方法统计出分别落在正方形和阴影部分的飞镖数?提示：先产生两组0,1内的均匀随机数a=RAND,b=RAND;经过平移和伸缩变换：x=2(a-0.5),y=2(b-0.5);用FREQUENCY函
7、数语句统计满足的结果数和实验的总次数.即统计出落在正方形和阴影部分的飞镖数.,探究2：观察右面的图形,回答有关问题：(1)图中阴影部分为一个不规则的图形,你可以采用什么方法求其面积?提示：计算不规则图形的面积可利用几何概型,并通过随机模拟方法可以近似计算不规则图形的面积.,(2)解决不规则图形面积的计算公式是什么?提示：利用公式P(A)计算出不规则图形的面积.,【探究总结】1.用均匀随机数模拟随机试验的具体方法建立一个概率模型,使它与某些我们感兴趣的量(如概率值、常数)有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量.2.随机数模拟的方法在几何概型中的用途(1)近似计算某些事件的概率
8、.(2)估计圆周率的值.(3)求某些不规则图形的面积.,类型一 均匀随机数的产生1.设x是0,1内的一个均匀随机数,经过变换y=2x+3,则x=对应变换成的均匀随机数是()A.0B.2C.4D.5,2.在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y= 与x轴,x=1围成的部分)的面积时,需要经过伸缩变换得到两个区间和上的均匀随机数.【解题指南】1.利用伸缩变换公式x=x1(b-a)+a求解.2.观察区域内点的横、纵坐标的取值范围.,【自主解答】1.选C.当x= 时,y=2 +3=4.2.由图可知需产生的两组均匀随机数所在区间为-1,1与0,2.答案：-1,10,2,【规律总结】1.应用随机数进行几何
9、概型计算时应注意的问题(1)确定所需产生的随机数组,如长度、角度只需产生一组均匀数,面积要产生两组均匀数,体积要产生三组均匀数.(2)由试验对应的区域,确定对01区间的均匀随机数进行变换.(3)由事件A发生的条件确定随机数满足的关系.,2.产生均匀随机数的关键用随机模拟方法求概率,其实质是先求频率,用频率近似代替概率.产生均匀随机数关键是设计好“程序”或者说“步骤”,并找到各数据需满足的条件.,【变式训练】将0,1内的均匀随机数x1转化为2,5内的均匀随机数x,需实施的变换为.【解析】利用伸缩变换公式x=x1(b-a)+a得x=3x1+2.答案：x=3x1+2,类型二 用随机模拟法估计概率1.
10、有一个半径为5的圆,现在将一枚半径为1的硬币向圆投去,如果不考虑硬币完全落在圆外的情况,则硬币完全落入圆内的概率为.,2.如图所示,墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2cm,4cm,6cm,某人站在3m之外向此板投镖,设投镖击中线上或没有投中木板时不算,可重投,问：(1)投中大圆内的概率约是多少?(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率约是多少?(3)投中大圆之外的概率约是多少?,【解题指南】1.因为硬币完全落在圆外的情况是不考虑的,所以硬币的中心均匀地分布在半径为6的圆O内,且只有中心落入与圆O同心且半径为4的圆内时,硬币才完全落入圆内.,2.本题考
11、查利用均匀随机数求几何概型的概率问题,关键是不确定所需的随机数,先产生0,1上的均匀随机数,然后通过伸缩平移变换得到-8,8上的两组均匀随机数,然后统计满足a2+b236的点(a,b)数N1,满足4a2+b216的点(a,b)数N2,投中木板的总次数N,即满足-8a8,-8b8的点(a,b)数N,最后利用频率的近似值表示概率.,【自主解答】1.由题意,如图,记“硬币完全落入圆内”为事件A,则P(A)=答案：,2.记事件A=投中大圆内,事件B=投中小圆与中圆形成的圆环,事件C=投中大圆之外.用计算机产生两组0,1上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.经过伸缩平移变换,a=a1*16-8
12、,b=b1*16-8,得到两组-8,8的均匀随机数.统计投在大圆内的次数N1(即满足a2+b236的点(a,b)数),投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4a2+b216的点(a,b)数),投中木板的总次数N(即满足上述-8a8,-8b8的点(a,b)数).,所以(1)投中大圆内的概率约为 ，(2)投中小圆与中圆所形成圆环的概率约为 ，(3)投中大圆之外的概率约为1- .,【规律总结】利用随机模拟法计算几何概型概率的步骤,【变式训练】在平面直角坐标系xOy中,设M是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向M中随机投一点,则所投的点落在E中的
13、概率是.,【解析】如图所示：区域M表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界),区域E表示单位圆及其内部,因此P=答案：,类型三 利用随机模拟试验估计不规则图形的面积1.在边长为2的正三角形中,有一个封闭曲线围成的阴影区域,向正三角形中随机撒入100粒豆子,恰有60粒豆子落入阴影区域内,那么阴影区域的面积近似为()A. B. C. D.无法计算2利用随机模拟方法计算曲线y= ,x=1,x=2和y=0所围成的图形的面积.,【解题指南】1.根据几何概型的概率计算公式，面积之比等于 可求得.2在直角坐标系中画出正方形(x=1,x=2,y=0,y=1所围成的部分),用随机模拟的方法可以得到所求面积的近
14、似值.,【自主解答】1.选C. 2如图，作直线y=1.(1)利用计算器或计算机产生两组01之间的均匀随机数,a1=RAND,b=RAND.(2)进行平移变换：a=a1+1.,(3)数出落在阴影内的点数N1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如,做1 000次试验,即N=1 000,模拟得到N1=689,所以 =0.689,即S0.689.,【规律总结】利用随机模拟法估计图形面积的步骤(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示.(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P(A)=(3)设阴影部分的面积是S，规则图形
15、的面积是S，则有 解得S= S,则已知图形面积的近似值为 S.,【变式训练】设函数y=f(x)在区间0,1上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0f(x)1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间0,1上的均匀随机数x1,x2,xN和y1,y2,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,N).再数出其中满足yif(xi)(i=1,2,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得到S的近似值为.,【解析】这种随机模拟的方法,是在0,1内生成了N个点,而满足几条曲线围成的区域内的点是N1个,所以根据比例关系 而矩形的面积为1,所以随机模拟方法得到的面积为 .答案：,
