1、1、试证明，对于一维自由粒子，在长度为 L 内，在 到 d + 的能量范围 内，量子态数（相格数）为 1/2 2 () 2 Lm dN d h = 证明：根据 4.2 节相空间可知，一维自由粒子在 空间体积元 x dxdp 内可能 的量子态数为 x dxdp dN h = 在长度为 L 内，动量绝对值在 p 到 p+dp 范围内的可能量子态数为 2 () L dN p dp h = 注意，此处的因子 2 是因为动量可以取正负两个可能的方向。 由能量和动量的关系式 2 2 p m = 可得， 1/2 2 mm dp d d p = ，代入上式可 得 1/2 2 () 2 Lm dN d h =
2、证毕。 2、试证明，对于二维自由粒子，在面积 L 2 内，在 到 d + 的能量范围内， 量子态数（相格数）为 2 2 2 () L dN md h = 证明：二维自由粒子在 空间体积元 x y dxdydp dp 内可能的量子态数为 2 x y dxdydp dp dN h = 对坐标空间积分，可得 2 2 x y Ldpdp dN h = 用二维动量空间的极坐标 ,p 描述粒子的动量, ,p 与 , x y p p 的关系为 cos x pp= sin y pp= 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为 pdpd ，在面积 2 L 内，动量绝 对值在 p 到 p+dp 范围内，动量方向在
3、到 d + 范围内，二维自由粒子可能的 量子态数为 2 2 L pdpd dN h = 从 0 到 2 积分，可得在面积 2 L 内，动量绝对值在 p 到 p+dp 范围内，二 维自由粒子可能的量子态数为 2 2 2 () L dN p pdp h = 由能量和动量关系式 2 2 p m = 可得， 1/2 2 mm dp d d p = ，代入上式可得 () 1/2 22 1/2 () 2 2 Lm L dN m d md hh = 证毕。 3、完整地推导出 F-D 统计的 ()f E 表达式（课后作业第 2 题, p442） 。 证明：对费米系统的热力学概率 () ! ! i FD i i
4、i i g NgN = i 取对数，得 ln ln ! ln ! ln( )! iiii i gNgN= 假设 1 i N null ， 1 i g null ， 1 ii gN null ，应用 Stirling 公式可得 ln ln ln ( ) ln( ) iiiiii ii i ggNN gN gN= 令 i N 有 i N 的变化， ln 将因而有 ln 的变化，使 为极大分布必使 ln 0 = ，即 ln ln ln( ) 0 iiii i NgNN= + = 但这些 i N 不是任意的，必须满足条件： 0 i i NN= 0 ii i EN= = 用拉氏乘子 和 分别乘以上面两式，并从 ln 中减去，得 ln 0 ii ii i i gN N N = 上式整理得 1 i i i g N e + = + 因此， F-D 分布函数为 1 () 1 i fE e + = + 证毕。
