1、1巧用累加式和累乘式解数列高考题湖北省广水市一中 刘才华 432700数列中有两个常见的重要恒等式，累加式： 121()naa3(2)和累乘式： .运用它们可以求数列通项和证明数列与不(na1)3211nna等式的综合题.本文就这两个恒等式在解高考题中的应用举几例，算作是抛砖引玉.一、累加式： 121()n32() (na1)1.1 求数列通项例 1 （2003 年高考全国卷文科第 22 题） 已知数列 满足 ， n1a13na（ ）.n2（1）求 ；3,a（2）求证： .12n解（1） ， ，13na1a ， .21423（2） ，1n （ ）.13na2 2131()()()naa= =3
2、n = .12n1.2 证明数列不等式例 2 （2005 年高考湖北卷理科第 22 题（） ） 已知不等式 123 1n,其中 为大于 2 的整数， 表示不超过 的最大整数.设数列1logn2lognlogn2各项为正，且满足 ， ，na1(0)abna1n2,34.证明： .2,34,5logn证明 ， 又 ，na1n,. 0na ，即 .1n1nn1a设 = ，则 ， （ ）.nba1n1nbn2 1213()(nb21)()n .n又 ，且 （ 3）; 1ba23 2logn ，即 .2lognn1na2lb .na21lb2log即 （ 3）.n2logn二、累乘式： 3121nna2
3、.1 求数列通项例 3 （2000 年高考全国卷理科第 15 题） 是首项为 1 的正项数列，且 na21()na（ ）,则它的通项公式为_.2na10n,23解 ，211()0nnaa .1n3 ， .0na10na ，即 .()1()na ，即 （ 2）.1na1na = = （ 2）.3211nn 13n又 也满足上式， 的通项公式为 .1anana2.2 证明数列不等式例 4 （2005 年高考辽宁理科卷 19 题（I） ）已知函数 设数列3()1xf().满足 ， ，数列 满足 .na11()nnafnbn|a证明： . nb132n证明 ，又 ，()()xf1()nnaf ， .1
4、3na13nn即 .1n()()na .1(31)|nna又 ， .|nb1()|nnbba .13|na又 ， = ， .11n21nan .13|nba24 （ ）.1nb32n 3121nnb 1132n个. 又 ；13()2b1|3|1ba ，即 .n1()nn1()2n例 5 (2005 高考重庆卷第 22 题) 数列 满足 ，且na11na2()na（ 1）.2n() 用数学归纳法证明： ( );n2() 已知不等式 对 成立，证明： （ 1） ，其中无理数l(1)x02nae2.718.e证明 ()（略）() 由() （ ） ，且 ，na21a ，1()nn2()n .na21n .1ln2l()n由不等式 对 成立，l)x0 .2211(nn ，即 ，1lna()n1lna12n5 ，则 （ 2）,1na12ne1na12ne ,3211nn 211322ne na21()()()23nne （ ）.1(1)n12ne又 =1 , （ 1）.12
