1、第4课分式及其运算 1 分式的基本概念 1 形如的式子叫分式 2 当时 分式有意义 当时 分式无意义 当时 分式的值为零 要点梳理 A B是整式 且B中含有字母 B 0 B 0 B 0 A 0且B 0 2 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以 或除以 分式的值不变 用式子表示为 同一个不等于零的整式 M是不等于零的整式 3 分式的运算法则 1 符号法则 分子 分母与分式本身的符号 改变其中任何两个 分式的值不变 用式子表示为 2 分式的加减法 同分母加减法 异分母加减法 3 分式的乘除法 4 分式的乘方 n n为正整数 4 分式的约分 通分 把分式中分子与分母的公因式约去 这种变形叫做约分
2、其根据是分式的基本性质 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式 这种变形叫做分式的通分 通分的根据是分式的基本性质 通分的关键是确定几个分式的最简公分母 5 分式的混合运算 在分式的混合运算中 应先算乘方 再将除法化为乘法 进行约分化简 最后进行加减运算 遇有括号 先算括号里面的 灵活运用运算律 运算结果必须是最简分式或整式 6 解分式方程 其思路是去分母转化为整式方程 要特别注意验根 使分母为0的未知数的值 是增根 需舍去 1 正确理解分式的概念及分式有意义判断某一个代数式属于不属于分式 不能看化简后的结果 而应看到它的本来面目 分式的概念是以形式上规定的 解有关分式是否有意义的问
3、题时 常用到 或 与 且 来表达 正确使用 或 与 且 也是解题的关键 或 表示一种选择关系 含有 你行 他也行 的意思 且 表示递进关系 也有 同时 的意思 难点正本疑点清源 2 注意分式运算的法则和顺序分式的乘除运算 一般先利用法则转化为分式的乘法后 能约分的要先约分 再计算 否则运算非常复杂 对于乘除 乘方混合运算 就遵循 先乘方 后乘除 的运算顺序 异分母分式相加减 或分式与整式的加减运算 可把整式看作一个整体与分式通分后 按同分母的分式相加减来进行运算 分式运算中 每步运算都要符合法则或运算律 不能随意套用运算律 3 理解分式方程的增根并检验是否产生增根在分式方程化为整式方程时 一般
4、是将方程两边同乘以含未知数的整式 最简公分母 当所乘整式不为零时 所得整式的根为增根 因此 验根是解分式方程的必要步骤 分式方程的增根是解题时极易忽视的知识点 在一般情形下 检验未知数的值是否是增根并不难 而当题目明确有增根时 反推此时未知数的值就会让人不知所措 此时关键是要具备逆向的思维能力 特别是涉及分式方程的解而又未明确涉及增根问题时 探讨是否有增根 或与增根有关问题 就成了隐含条件 稍不留心就会发生差错 1 2011 江津 下列式子是分式的是 A B C yD 解析 根据分式的定义 分母中必含字母的代数式叫分式 基础自测 B 2 2011 南充 当分式的值为0时 x的值是 A 0B 1
5、C 1D 2解析 当x 1时 分子x 1 0 而分母x 2 3 0 所以分式的值为0 3 2011 金华 计算 的结果为 A B C 1D 2解析 1 B C 4 2011 潜江 化简 m 2 的结果是 A 0B 1C 1D m 2 2解析 原式 1 5 2011 芜湖 分式方程 的解是 A x 2B x 2C x 1D x 1或x 2解析 当x 1时 方程左边 3 右边 3 x 1是原方程的解 B C 题型一分式的概念 求字母的取值范围 例1 1 当x 时 分式无意义 解析 当x 1 0 x 1时 分式无意义 2 2011 泉州 当x 时 分式的值为0 解析 当x 2 0 x 2时 分母x
6、2 4 分式的值是0 题型分类深度剖析 1 2 探究提高1 首先求出使分母等于0的字母的值 然后让未知数不等于这些值 便可使分式有意义 2 首先求出使分子为0的字母的值 再检验这个字母的值是否使分母的值为0 当它使分母的值不为0时 这就是所要求的字母的值 知能迁移1 1 使分式有意义的x的取值范围是 解析 当2x 4 0 x 2时 分式有意义 故x的取值范围是x 2 2 当x 时 分式的值为0 解析 当 x 3 0 x 3 x 3 而x 3 0 x 3 故x 3 x 2 3 3 若分式的值为0 则x的值为 A 1B 1C 1D 2解析 当x 2 0 x 2时 x2 1 0 故选D D 题型二分
7、式的性质 例2 1 2011 湛江 化简 的结果是 A a bB a bC a2 b2D 1解析 a b A 2 已知 3 求分式的值 解法一 3 3 y x 3xy x y 3xy 原式 4 解法二 3 xy 0 原式 4 探究提高1 分式的基本性质是分式变形的理论依据 所有分式变形都不得与此相违背 否则分式的值改变 2 将分式化简 即约分 要先找出分子 分母的公因式 如果分子 分母是多项式 要先将它们分别分解因式 然后再约分 约分应彻底 3 巧用分式的性质 可以解决某些较复杂的计算题 可应用逆向思维 将要求的算式向已知条件 凑 而求得结果 知能迁移2 1 2011 聊城 化简 解析 2 下
8、列运算中 错误的是 A c 0 B 1C D 解析 D 题型三分式的四则混合运算 例3 先化简代数式 然后选取一个合适的a值 代入求值 解题示范 规范步骤 该得的分 一分不丢 解 原式 a 2 a 2 2分 a a 2 2 a 2 a2 2a 2a 4 a2 4 3分 取a 1 得原式 12 4 5 5分 探究提高准确 灵活 简便地运用法则进行化简 注意在取a的值时 不能取使分式无意义的 2 知能迁移3 1 2011 安徽 先化简 再求值 其中x 2 解 原式 1 2 计算 解 原式 3 a 3 a 3 2a 12 3 2011 贵阳 在三个整式x2 1 x2 2x 1 x2 x中 请你从中任
9、意选择两个 将其中一个作为分子 另一个作为分母组成一个分式 并将这个分式进行化简 再求当x 2时分式的值 解 答案不唯一 如 选择x2 1为分子 x2 2x 1为分母 组成分式 将x 2代入 得原式 题型四分式方程的解法 例4 解分式方程 0 解题示范 规范步骤 该得的分 一分不丢 解 原式 0 去分母 5 x 1 x 3 0 去括号 5x 5 x 3 0 2分 4x 8 0 4x 8 x 2 经检验 x 2是原方程的根 原方程的根是x 2 4分 探究提高1 按照基本步骤解分式方程 其关键是确定各分式的最简公分母 若分母为多项式时 应首先进行分解因式 将分式方程转化为整式方程 乘最简公分母时
10、应乘原分式方程的每一项 不要漏乘常数项 2 检验是否产生增根 分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根 但因为它使分式方程的某些分母为零 故应是原方程的增根 须舍去 知能迁移4 1 2011 潼南 解分式方程 1 解 方程两边同乘 x 1 x 1 得x x 1 x 1 x 1 x 1 化简 得 2x 1 1 解得x 0 检验 当x 0时 x 1 x 1 0 所以x 0是原分式方程的解 2 若方程 无解 则m 解析 去分母 x 3 m m 3 x 当x 2时 m 3 2 1 1 1 勿忘分母不能为零考题再现当a取什么值时 方程 的解是负数 学生作答解 原方程两边同乘以 x 2 x 1 得
11、x2 1 x2 4x 4 2x a 2x a 5 x 由 0 得a 5 故当a 5时 原方程的解是负数 答题规范 规范解答解 当x 1且x 2时 原方程两边都乘以 x 2 x 1 得x2 1 x2 4x 4 2x a 2x a 5 x 由 0 得a 5 又由 2 得a 1 1 得a 7 故当a 5且a 7时 原方程的解是负数 老师忠告 1 分式中的分母不能为零 这是同学们熟知的 但在解题时 往往忽视题目中的这一隐含条件 从而导致解题错误 2 利用分式的基本性质进行恒等变形时 应注意分子与分母同乘或同除的整式的值不能是零 3 解分式方程为什么要检验 因为用各分母的最简公分母去乘方程的两边时 不能
12、肯定所得方程与原方程同解 如果最后x取值使这个最简公分母不为零 则这个步骤符合方程同解原理 这个取值就是方程的解 否则 不保证新方程与原方程同解 从另一角度看 既然使各分母的最简公分母为零 则必使某个分母为零 该分式则无意义 原方程不可能成立 这个取值就不是原方程的解 方法与技巧1 分式运算过程较长 运算中错一个符号 往往会使原来能够化简的趋势改观 使算式越来越繁 形成对分式运算厌烦甚至惧怕的心理 为了避免这种现象 一定要养成分类分级逐步演算的习惯 每次添 去括号时 要注意每一个符号的正确处理 2 在加深对方法的原理理解的前提下 清楚地归纳运算步骤 宜分步式 不宜跳步 不宜一个符号下完成数个步骤 思想方法感悟提高 失误与防范1 分式的分母不为零 分式才有意义 这又是分式的值为0的前提 讨论分式的值为0 即要求分母不为0 又要求分子为0 二者缺一不可 2 当分式的分子或分母为多项式时 在运算顺序上 相当于使分子或分母的外面有一个括号 从而把它们分别当成一个整体看 例如 5 应得 而不是 3 分式加减法中的通分是等值变形 不要在学了解分式方程后 两者混淆 把通分变形成去分母了 完成考点跟踪训练4
