1、三角形 回民中学付灵强 知识要点1 理解三角形 三角形的顶点 边 内角 外角 角平分线 中线和高等概念 了解三角形的稳定性 会画出任意三角形的角平分线 中线和高 例1 02吉林 木工师傅在作完门框后 为防止变形 常象图中所示那样钉上两条斜拉的木板条 即图中的AB和CD 这样做根椐的数学原理是 三角形的稳定性 例2 在 ABC中 高AD和BE所在直线的交点是H 且BH AC 求 ABC的度数 解 1 当 ABC为锐角时 AD BE是高 在Rt ADC和Rt BDH中 C BHD 同角的余角相等 又 BH AC ADC BDH AAS AD BD ADB是等腰直角三角形 ABC 45 2 当 AB
2、C为钝角时 如图 同理 可证 ADB为等腰三角形 ABD 45 ABC 135 故 ABC的度数为 45 或135 练习 若等腰三角形腰上的高等于腰长的一半 则它的顶角为 析 1 D 知识要点2 理解三角形的任意两边之和大于第三边的性质定理及推论 会根据线段的长度判断它们能否构成三角形 例3 01南京 有下列长度的三条线段 能构成三角形的是 A 1cm2cm3cmB 1cm2cm4cmC 2cm3cm4cmD 6cm2cm3cm C 略解 解得 练习 1 河北 已知三角形三条边长分别为2 3和a 求a的取值范围 也可以把a当做第三边 即 略解 又 AB的长为奇数 AB 7 2 ABC中 BC
3、2 AC 7 AB的长为奇数 求AB 3 已知三角形的两边分别为3和5 第三边上的中线a的取值范围是 A 1 5 a 2 5B 1 5 a 4C 1 a 2 5D 1 a 4 E D 5 3 2a 5 32 2a 81 a 4 4 若等腰三角形两边的长分别为6cm和8cm 则周长为 22cm或20cm 20cm 5 若等腰三角形两边的长分别为4cm和8cm 则周长为 知识要点3 掌握三角形内角和定理 掌握三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角的性质 会对三角形按不同标准 边 角 分类 1 2 分类 例4 有下列命题 1 一个三角形中至少有一个角不大于6
4、0 2 有一个外角是钝角的三角形是锐角三角形 3 等边三角形也是锐角三角形 4 三角形的外角等于这个三角形的两个内角的和 其中真命题的个数有 个 A 1个B 2个C 3个D 4个 B 例5 如图己知 点A B分别在平面直角坐标系的x轴 y轴的正半轴上移动 BE是 ABy的平分线 BE的反向延长线与 OAB的平分线交于点C 试问 ACB的大小是否发生变化 如果保持不变化 请给出证明 若变化 请求出变化范围 yBA OAB xOy OAB 900BE平分 ABy AC平分 OAB 答 不变化 证明 练习 A 直角三角形 B 等腰三角形 C 钝角三角形 D 等边三角形 D 解 两边乘以2移项得 a2
5、 2ab b2 a2 2ac c2 b2 2bc c2 0所以 a b 2 a c 2 b c 2 0a b 0a c 0b c 0即 a ba cb c所以a b c 2 已知 ABC三边分别为a b c 且a2 ab c a b 则这个三角形一定是 A 不等边三角形 B 等边三角形 C 等腰三角形 D 直角三角形 解 a a b c a c 0 a b a c 0 a b或a c 一定是等腰三角形 C 例7 如图己知 OA a P是射线上一动点 即P可以在射线ON上运动 AON 600 回答下列问题 1 当OP等于多少时 AOP为等边三角形 2 当OP等于多少时 AOP为直角三角形 3 当
6、OP满足什么条件时 AOP为锐角三角形 4 当OP满足什么条件时 AOP为钝角三角形 1 O 600 当OP OA时 AOP为等边三角形 即当OP a时 AOP为等边三角形 2 当 A 900或 OPA 900时 AOP都是直角三角形 当 OPA 900时 O 600 A 300 OP 0 5 OA 0 5a 当 OAP 900时 OPA 300 OP 2OA 2a即当OP 2a时 AOP是直角三角形 A O P N 综合 得 当OP 0 5a或OP 2a时 AOP是直角三角形 A O P P N 3 当2a OP 0 5a时 AOP是锐角三角形 4 当OP2a时 AOP是钝角三角形 P3 P
7、4 P5 例8 单元达标题六 已知 ABC的两边AB AC的长是关于x的一元二次方程x2 2k 3 x k2 3k 2 0的两根 第三边BC的长为5 求 1 k为何值时 ABC是以BC为斜边的直角三角形 2 k为何值时 ABC是等腰三角形 并求 ABC的周长 解 解法一 1 易知AB AC 2k 3 AB AC k2 3k 2又BC 5为斜边 AB2 AC2 AB2即 2k 3 2 2 k2 3k 2 25解得 k1 5k2 2其中当k 5时 所求方程的两根均为负值不合题意 故舍去 当k 2时 ABC是以BC为斜边的直角的直角三角形 2 由 2k 3 2 4 k2 3k 2 1 0可知 AC
8、AB不成立 显然5是原方程的根 可求得k1 3k2 4 x2 2k 3 x k2 3k 2 0 第三边BC的长为5 当k 3时 x2 9x 20 0 x1 4x2 5 等腰 ABC的三边长为 5 5 4 周长为14 当k 4时 x2 11x 30 0 x1 5x2 6 等腰 ABC的三边长分别为5 5 6 周长为16 解法二 原方程左边分解因式得 x k 1 x k 2 0 x1 k 1x2 k 2 k 1 2 k 2 2 252k2 6k 20 0k2 3k 10 0 k 2或k 5 舍去 5 2 k 1 k 2 k 1 5或k 2 5 k 4或k 3 k 4时 x1 5x2 6即周长为16 k 3时 x1 4x2 5即周长为14 x2 2k 3 x k2 3k 2 0
