1、一、已知：如图 AD 为ABC 的角平分线，DEAC ，交 AB 于 E.过 E 作AD 的垂线交 BC 延长线于 F，求证： （1）FA=FD（2）2 分之一（BAC+AFC）=90B(1)因为 DEAC所以8=2，因为 AD 为ABC 的角平分线，所以 1=2 所以8=1；又因为 EF 是 AD 的垂线，所以EGD= EGA=90；EG 为公共边，所以EGDEGA；所以3=4， EA=ED，EF 为公共边，所以EFDEFA；所以 FA=FD(2)因为B=180-BEF-BFE；BEF=3+ 7=3+1+2=90-8+ 1+2；又因为 DEAC所以8=2，所以BEF=90-1=90+1/2B
2、AC;由第(1)问已证出EFD EFA，所以BFE=1/2AFC；所以B=180-BEF-BFE=180-（90+1/2BAC） -1/2AFC=90-1/2BAC-1/2AFC所以 1/2（BAC+AFC）=90B.二如图 ，将菱形纸片 AB（E）CD（F）沿对角线 BD（EF）剪开，得到ABD 和ECF ，固定ABD，并把ABD 与ECF 叠放在一起。（1）操作：如图，将ECF 的顶点 F 固定在ABD 的 BD 边上的中点处，ECF 绕点 F 在 BD 边上方左右旋转，设旋转时 FC 交 BA 于点 H（H 点不与 B 点重合） ，FE 交 DA 于点 G（G 点不与 D 点重合） ，求
3、证：BHGD=BF 2；（2）操作：如图，ECF 的顶点 F 在ABD 的 BD 边上滑动（F 点不与 B、D 点重合） ，且 CF 始终经过点 A，过点 A 作 AGCE，交 FE 于点 G，连接 DG，探究：FD+DG=_，请予证明。解：（1） 将菱形纸片 AB（E ）CD （F）沿对角线 BD（EF）剪开，B=D，将 ECF的顶点 F 固定在ABD 的 BD 边上的中点处，ECF 绕点 F 在 BD 边上方左右旋转，BF=DF，HFG=B，GFD=BHF，BFHDGF， ，即 BHGD=BFDF，BHGD=BF 2；（2）BD，证明如下：AGCE，FAG=C，CFE=CEF，AGF=CF
4、E，AF=AG，BAD=C，BAF=DAG，又AB=AD，ABFADG（SAS ） ，FB=DG，FD+DG=BD。三.在三角形 ABC 中,AB=13,BC=14,AC=15,求 BC 边上的高 AD 的高设 BD 长为 x，则 CD 长为（14-x），AD2=132-x2=169-x2 ADBC ABD、 ACD 均为直角三角形 AD2+BD2=AB2 （勾股定理） AD2+CD2=AC2 （勾股定理） 由、得： AD2=AB2-BD2 AD2=AC2-CD2 把代入得： AB2-BD2=AC2-CD2 132-x2=152-(14-x)2 169-x2=225-196+28x-x2 16
5、9-225+196=28x 28x=140 X=5 AD2=169-52 =169-25 =144 AD=12四如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=8,AD=10,将矩形沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，求 CE 的长矩形沿直线 AE折叠，定点 D恰好落在 BC边上的点 F处AEDAFE,AF=AD直角ABF,BF=AF-AB=100-64=36 BF=6CF=BC-CF=10-6=4设 CE=a 则 DE=EF=8-a在 RTCEF 中，EF =FC +EC 即： (8-a) =16+a 即：4-a=1 所以 a=3 即 CE=3五以 3，4，5 为边长的三角
6、形为直角三角形，称 3，4，5 为勾股数组，记为（3，4，5） ，类似地，还可得到下列勾股的数组（8，6，10） （15，8，17）（24，10，26）等。问：（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第五组勾股数。 （2）试用数学等式描述上述勾股数组规律。 （3）请你证明你所发现的规律。答：(1)(35,12,37)(2)通过观察我们发现勾股数组的每一组的第一个数，组成的数列，3，8，15，24,.后一项与前一项的差所组成的新数列是首项为 8-3=5 公差为 2 的等差数列，所以勾股数组的第一个数可以写为 n+2n(n=1，2，3，.)同样对于勾股数组的每一组的第二个数所组成的数列是首项为 4
7、 公差为 2 的等差数列，这样勾股数列的第二个数就可以表示为 2n+2.勾股数组的每一组的第三个数所组成的数列，5，10，17，26后项与前一项之差所构成的新数列是首项为 5 公差为 2 的等差数列，所以有勾股数组的第三个数可以写为n2+2n+2所以勾股数组可以写为(n +2n,2n+2,n+2n+2)(3)证明；(n+2n) +(2n+2) =n4+4n3+4n2+4n2+8n+4=n4+4n3+8n2+8n+4而(n2+2n+2)2=n4+4n3+8n2+8n+4我们发现上下两式相等，所以以它们为边的三角形是直角三角形，自然它们就构成了勾股数组。六如图ABC 是等边三角形 ,AE=CD,A
8、D,BE 相交于点 P。BQ 垂直于 AD 于 Q,PQ=3，PE=1.求 AD 的长？解：ABC 是等边三角形BAE=C=60 AB=AC，AE=CDABECADCAD=ABE，BE=ADBPD=PAB+ABE=PAB+CAD=60BQ AQPBQ=30BP=2PQ=6BE=BP+PE=6+1=7AD=7如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形， CE 与 BD 相交于点 M，BD 交 AC 于点 N,证明：（1）BD=CE（2）BDCE。证明：（1）BAC=DAE=90BAC+CAD= DAE+CAD即CAE=BAD在ABD 和ACE 中AB=ACCAE=BADAD=AEABDACE（SAS）BD=CE（2）ABDACEABN=ACEANB=CNDABN+ANB=CND+ NCE=90CMN=90即 BDCE如图 5 所示,AB=AC,AD=AE,BAC= DAE,1=25,2=30,则3=_解：根据题意可证明EACDAB而 ABAC ，ADAE所以根据 SAS 得到：三角形 ABD 全等于三角形 ACE所以ABD230，所以31 ABD25 3055
