1、线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵定义由个数排成的行列的数表称为m行n列矩阵。简称矩阵，记作，简记为，。说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n的矩阵A。 记作：An。行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：AB同型,且对应元素相等。记作：AB零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：En(不引起混淆时，也可表示为E )（课本P29P31）注意矩阵与行列式有本
2、质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。第二节矩阵的运算矩阵的加法设有两个矩阵，那么矩阵与的和记作，规定为说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33）矩阵加法的运算规律；，称为矩阵的。（课本P33）数与矩阵相乘数乘矩阵的运算规律（设为矩阵，为数）；。（课本P33）矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相乘设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵，其中，并把此乘积记作注意1。A与B能相乘的条件是：A的列数B的行数。2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，而且两个非零矩
3、阵的乘积可能是零矩阵。3。对于n阶方阵A和B，若AB=BA，则称A与B是可交换的。矩阵乘法的运算规律；，若A是n 阶方阵，则称 Ak为A的k次幂，即，并且，。规定：A0E注意矩阵不满足交换律，即，（但也有例外）（课本P36）纯量阵矩阵称为纯量阵，作用是将图形放大倍。且有，A为n阶方阵时，有，表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。（课本P36）转置矩阵把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作，如，。转置矩阵的运算性质；。（课本P39）方阵的行列式由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或（记住这个符号）注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n2个数按一定方式排
4、成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。运算性质；（课本P40）对称阵设A为n 阶方阵，如果满足A=AT ，即那么A称为对称阵。说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果则称矩阵为反对称的。即反对称矩阵A=（aij）中的元素满足aijaji，i，j=1，2，n伴随矩阵行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵。性质（易忘知识点）（课本P？ ）总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。第三节 逆
5、矩阵定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B,使得ABBAE则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。，。说明1 A ，B互为逆阵， A = B-12 只对方阵定义逆阵。3.若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。定理1矩阵A可逆的充分必要条件是，并且当A可逆时，有（重要）（证明见课本P？ ）奇异矩阵与非奇异矩阵当时，称为奇异矩阵，当时，称为非奇异矩阵。即。推论若，则（证明见课本P？ ）求逆矩阵方法更好的求逆矩阵的方法-chapter3初等变换法（A,E)逆矩阵的运算性质。（以上证明见课本P43）。总结逆矩阵的计算方法；第四节 矩阵分块法矩阵分块将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每
6、一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。分块矩阵的运算规则加法A与B同型，且A、B的分块方法相同，则A与B的和定义为对应子块相加。数乘。 转置。(先外转再内转)乘法首先AB有意义，其次A的列的分法与B的行的分法相同。，。结论分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。分块对角阵（准对角矩阵）设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵，即，则有：。，（diag（A）表示对角阵A）（课本P？ ）有用的结论 线性方程组的分块表示线性方程组，其中A为系数矩阵，x称为未知数向量，b称为常数向量，B称为增广矩阵。增广矩阵可以分块表示为：
