1、第三章,可修复系统的可靠性,第三章 可修复系统的可靠性,3.1 马尔可夫过程3.2 状态转移图3.3 n步转移后系统各状态概率3.4 单部件可修系统3.5 串联可修系统3.6 并联可修系统,引言,可修复系统的组成单元发生故障后，经过修理可以使系统恢复至正常工作状态，如下图所示。如果工作时间和修复时间都服从指数分布，就可以借助马尔可夫过程来描述。,3.1 马尔可夫过程,马尔可夫过程定义 马尔可夫过程是一类“后效性”的随机过程。简单地说，在这种过程中系统将来的状态只与现在的状态有关，而与过去的状态无关。或者说，若已知系统在t0时刻所处的状态，那么t t0时的状态仅与时刻t0的状态有关。,3.1 马
2、尔可夫过程,马尔可夫过程的数学描述 设x(t),t0是取值在E=0,1,2,或E=0,1,2,N上的一个随机过程。若对任意n个时刻点0t1t2tn 均有: Px(tn)=in|x(t1)=i1,x(t2)=i2,x(tn-1)=in-1 =Px(tn)=in|x(tn-1)=in-1 i1,i2,inE 则称x(t),t0为离散状态空间E上连续时间马尔可夫过程。,3.1 马尔可夫过程,齐次马尔可夫过程如果对任意t,u0,均有 Px(t+u)=j|x(u)=i=pij(t) i,jE 与始点u 无关，则称该马尔可夫过程式齐次的。,3.1 马尔可夫过程,转移矩阵 Pij(t)称为从状态i到状态j的
3、转移函数，内转移函数的全体组成的矩阵称为转移矩阵。如对n个状态系统的转移矩阵为nn阶方阵，可写为：,3.1 马尔可夫过程,齐次马氏过程的性质可以证明，对系统寿命及故障后的修复时间均服从指数分布时，则系统状态变化的随机过程x(t),t0是一个齐次马尔可夫过程。,3.1 马尔可夫过程,三条假设，为常数(即寿命和维修时间服从指数分布)部件和系统取正常和故障两种状态。在相当小的t内，发生两个或两个以上部件同时进行状态转移的概率是t的高阶无穷小，此概率可以忽略不计。,3.1 马尔可夫过程,可修复系统的可靠性特征量瞬态可用度A(t)、不可用度Q(t);稳态可用度A、不可用度Q；MTBF、MTTFF(首次故
4、障前平均时间)、MTTR(平均修复时间) 。,3.2 状态转移图,例1如一台机器，运行到某一时刻t时，可能的状态为： e1正常； e2故障。如机器处于e1状态的概率P11=4/5,则e1向e2转移的概率P12=1P11=1/5；反过程，如机器处于e2状态，经过一定时间的修复返回e1 状态的概率是3/5，P21=3/5(维修度M();则修不好仍处于e2状态的概率是P22=1P21=2/5.,3.2 状态转移图,由此可写出系统的转移矩阵为:转移矩阵Pij也表示时间ei 发生的条件下，时间ej发生的条件概率：Pij=P(ei|ej) ； 矩阵 P:列是起始状态，有小到大；行是到达状态，由小到大排列，
5、建立P时应与转移图联系起来。,3.2 状态转移图,例2对于一可修系统，失效率和修复率为、为常数，试画出状态转移图： e1正常； e2故障。,3.2 状态转移图,由此可写出： 通常令t=1,则有 由此可知，状态转移图是求解(写出)转移矩阵的基础。,3.3 n步转移后系统各状态概率,设系统初始状态是 的概率, 由切普曼柯尔莫哥洛夫方程， 可表示为： 式中n=k+l,vE(状态空间) 此式为由状态i经n步转移到状态j的概率；由状态i先经k步转移到状态v,然后由状态v经l步转移到状态j的概率(此处v也可理解为从i到j的通道)。,3.3 n步转移后系统各状态概率,上式中，若令k=1,l=1,由 可决定
6、，即由全部一步转移概率可确定全部两步转移概率。若重复上述方法，就可由全部一步转移概率决定所有的转移概率。若用矩阵表示n步转移概率，即 ，则有： 转移矩阵,3.3 n步转移后系统各状态概率,一般地，可利用转移概率和系统的初始状态，求出任意转移后系统各状态的概率。公式如下： 式中 P部转移概率； n步转移概率；n转移步数(次数)；P(0)系统初始状态向量， P(0)= P1(0), P2(0) Pi(0)初始t=0时刻系统处于i状态的概率P(n)n步转移后系统所处状态向量，P(n)= P1(n), P2(n),Pi(n) n步转移后刻系统处于i状态的概率,3.3 n步转移后系统各状态概率,例：如下
7、图，已知P(0)=P1(0), P2(0)=1, 0,求n=1,2,等各步(次)转移后系统各状态的概率。 图中e1正常； e2故障。,3.3 n步转移后系统各状态概率,解：依次求得 n=1, n=2, n=3n=5时的状态矩阵 由此可知，随着n的递增，P1(n)、 P2(n)逐渐趋于稳定。稳定状态概率称为极限概率。,3.3 n步转移后系统各状态概率,本例n时的极限概率为P1()=4/9, P2()=5/9,即n时， 将收敛于一个定概率矩阵，即(本例为)： 在实践中常会遇到这样的情况，不管系统的初始状态如何，在经历了一段工作时间后，便会处于相对稳定状态，在数学上称之为各态历经或遍历性。所谓遍历过
8、程就是系统处于稳定状态的概率与初始状态无关的随机过程。具有这种性质的状态转移矩阵称为遍历矩阵。,3.3 n步转移后系统各状态概率,如果转移矩阵P经过n次相乘后，所得矩阵的全部元素都大于0,即 (i,jE),(注：常以此为判断马尔可夫链是否为各态历经的或是否存在极限概率)，则这样的转移矩阵都是遍历矩阵。遍历矩阵一定存在极限概率(或稳定状态)。 经过n步转移后的极限状态，就是过程的平稳状态，既然如此，即使再多转移一步，状态概率也不会有变化，这样可以求出平稳状态。,3.3 n步转移后系统各状态概率,设平稳状态概率为P(n)= P1, P2Pn, P为一步转移概率矩阵，则求平稳状态概率，只需求解以下方
9、程： 或写成：,3.3 n步转移后系统各状态概率,展开后得： (j=1,2,n) n个方程只有n-1个是独立的，因此必须再加另一个独立方程)。 由此即可求出n个平稳状态概率。,3.3 n步转移后系统各状态概率,例：求如图所示系统的平稳状态概率。,3.3 n步转移后系统各状态概率,解：一步转移矩阵为: 设P(n)= P0 P1，则,3.4 单部件可修系统,单部件系统是指一个单元组成的系统(或把整个系统当作一个单元来研究)，部件故障系统故障，部件正常系统正常。,3.4 单部件可修系统,部件的故障率，修复率分别是常数、，则：t时刻系统处于工作(正常工作)状态，在tt+t之间内发生故障的条件概率为 (
10、即为 )t时刻系统处于故障状态，在tt+t之间即t时间内修复好的条件概率为 (即为 ),3.4 单部件可修系统,单部件可修系统状态转移图,3.4 单部件可修系统,上图中:同理:,条件概率,3.4 单部件可修系统,上图的转移概率矩阵为:,3.4 单部件可修系统,令下面研究如何求解 首先，利用全概率公式可求出 和 的表达式,3.4 单部件可修系统, 此即为 的计算公式,3.4 单部件可修系统,由上式展开、移项、两边除以 若令 取极限有： (1),3.4 单部件可修系统,同理可得： (2) (1)、(2)联立即可求出 。 (1)、(2)的联立方程称为状态方程,3.4 单部件可修系统,下边求解状态方程
11、对上述(1)、(2)两边取拉氏变换：,3.4 单部件可修系统,假设t=0时系统为正常状即 ， 。代入上式,3.4 单部件可修系统,拉氏反变换：,3.4 单部件可修系统,由此瞬态有效度(可用度)：稳态有效度：平均有效度：(0 , t),3.4 单部件可修系统,由上述可归纳出解可修系统有效度等方法步骤如下：(1)画出系统的状态转移图(2)写出转移矩阵 (3)令 ，求出P(也称为转移矩阵)(4)求状态方程系数矩阵AA=P-I I与P同阶的单位矩阵，A又称为转移率矩阵,3.4 单部件可修系统,(5)写出状态方程式式中 为个状态概率向量 为各状态概率导数向量 (6)求解状态方程通常要给定初始状态 ，且常
12、用拉氏变化及反变换求解法。,3.4 单部件可修系统,如上例：,3.4 单部件可修系统,得状态方程 与前述一致以下即可用拉氏变换法等求解方程,3.5 串联可修系统,n个相同单元组成的串联系统每个单元： 、 为常数两种状态：状态0：n个单元全正常，系统正常状态状态1：任一单元故障，系统故障状态因为任一单元故障，系统即停止工作(不会出现两个及以上单元同时故障的情况),3.5 串联可修系统,n个相同单元组成的串联系统状态转移图,3.5 串联可修系统,用前述方法：,3.5 串联可修系统,状态方程：初始条件：,3.5 串联可修系统,用拉氏变换与反变换可解出：,3.5 串联可修系统,n个不同单元组成的串联系
13、统系统有n+1个状态：状态0：n个单元均正常，系统正常状态状态1：单元1故障，其余正常，系统故障状态2：单元2故障，其余正常，系统故障 状态n：单元n故障，其余正常，系统故障,3.5 串联可修系统,3.5 串联可修系统,3.5 串联可修系统,A=P-I,3.5 串联可修系统,给定初始条件，(用拉氏正、反变换)解此方程组即可求得： (瞬态)有效度： 稳态有效度：,3.5 并联可修系统,两个相同单元的并联系统(一组维修人员) 系统有3种状态(、) 0状态两个单元都正常，系统正常 1状态任意一个单元故障，系统正常 2状态两个单元都故障，系统故障,3.5 并联可修系统,3.5 并联可修系统,3.5 并联可修系统,状态方程为：,3.5 并联可修系统,给定初始条件，解此方程组可得：,3.5 并联可修系统,两个不同单元并联系统(一组维修人员) 共5个状态：状态0单元1、2都正常，系统正常状态1单元1正常，单元2故障，系统正常状态2单元2正常，单元1故障，系统正常状态3单元1修理，单元2待修，系统故障状态4单元2修理，单元1待修，系统故障,3.5 并联可修系统,3.5 并联可修系统,状态方程：,3.6 其他系统,而对于表决可修系统，旁联可修系统方法、步骤完全一样。,
