1、复习 第二章 流体运动学 描述流体运动的两种方法 拉格朗日法 跟踪质点来描述它们的力学和其他物理状态： ； 欧拉 法： 在选定的时空坐标系中考察流动 过程中力学和其他物理参量的分布 质点导数 DQQ Q V 拉格朗日法 欧拉法 可以 通过速度互换 （ 通过速度场 ） Dtt 流场的几何描述比较 迹线 : 同一个质点，不同时间的空间曲线； 流线：不同质点，同一时间的向量线 ；流面/流管 流体线 (时线 )/面 /管： 光滑流体面保持性 界面运动学条件 涡线 /涡面 /涡管： 涡通量/涡管强度 涡管强度守恒 Turbulence Research Laboratory 复习 复习 第二章 流体运动
2、学 海姆霍兹速度分解定理（Cauchy-Helmholtz速度分解定理） 1 VVS V y x 2 00 0 V()() Aoo o ii ij j ij j VSx x x x x x o A z 流体微团的运动= 平动+ 转动+ 变形 给定流场的散度和旋度求速度场 速度场的求解可分为三个部分：EV VV V u 1 3 , ddd 4 E D xyz R VR 2 0 V xVnVn u 3 1 , ddd 4 V D xyz R R V bn E V n 数理方程中的Neuman问题 Turbulence Research Laboratory 第三章 流体动力学的基本原理 流体运动学
3、 ：几何和分析的方法、流动形态的描述 不涉及运动的原因 流体动力学 考虑作用在流体上的力： 三大守恒定律 流体的运动 流体动力学的基本方程 积分型 系统 总体性能 微分型 ： 流体微团 流场的细节 ： ， ： ， Turbulence Research Laboratory 第三章 流体动力学的基本原理 3.1 流体动力学积分型基本方程 三大守恒定律 ： 质量体： 实际流动问题：控制体 1. 质量体和控制体 （ 1）质量体（闭系统） 定义 ： 流场中封闭流体面所包含的流体空间称为 质量体 。： 。 特点： 质量体的边界随流体一起运动，其形状和大小随时间变化； 质 量 体 的边 界面 上 无质
4、量 交换 ；体 界面 无质 交换 质量体的边界面上与外界有力的相互作用和能量交换。 * ()D * Lagrange 方法！ t ()t Turbulence Research Laboratory 第三章 流体动力学的基本原理 （ 2）控制体（开系统） 定义 ： 相对于某 一坐 标系不随时间变化的由封闭曲面包含的标系不随时间变化的由封闭曲面包含的 流体空间称为控制体，控制体的边界称为 控制面。 特点 ： 控制体的几何外形和体积相对于选定的坐标系是不变的； 在控制面上可以有质量交换； 在控制面上控制体内流体与外界有力的相互作用和能量交换 。 D Euler 方法！ 经典的力学和热力学方程 质量
5、体 控制体 D*(t), *(t) D, Turbulence Research Laboratory 第三章 流体动力学的基本原理 2. 随体导数和局部导数 定义 ： 控制体内 某物理量的总和随时间的增长率称为局部导数。例：水箱内 定义 ： 质量体内 某物理量的总和随时间的增长率称为随体导数。 例：气球内 输运公式 随体导数 局部导数 质量体 控制体 经典定理应用方便 研究实际问题方便 Turbulence Research Laboratory 第三章 流体动力学的基本原理 3. 输运公式 定理 ： 任意时刻 ， 质量体内物理量的随体导数等于该时刻形状 、 体积： ， 、 相同的控制体内物
6、理量的局部导 数与通过该控制体表面的输运 量之和。 * 0 ()Dt D tt DQ QdV dv Q dA Dt t Vn 随体导数 = 局部导数 + 控制面上的输运量 n * ()Dt D Q 质量体 , 控制体 , 任一物理量 控制体表面外法向单位向量 (证明） Turbulence Research Laboratory 3.1 流体动力学积分型基本方程 0 * D ,d D Dt tt Qt t x 随体导数定义 定义 1 NN 00 0 * 1 lim d d ttDDtt QQ t 求和 形式 ( 也是t的函数） 00 0 0 11 lim , ( ) , ( ) ii ii t
7、 ii Qt t t t Qt t xx 1 lim ( ) ( ) N Qt t t tQt * * DDD(d) (d) d Q QQ Dt Dt Dt 00 0 0 1 , () , () ii t i t 1D(d) D(d) VVd d DtDt * 0 DDt 令时刻， ， * d()d DD QQ Q tt VV V ()d d d Q QQQA tt n 0 Vn 流出控制体 0 Vn 流入控制体 Turbulence Research Laboratory Gauss公式 第三章 流体动力学的基本原理 4. 质量体上的守恒方程 Lagrange 积分型方程 任取 质量体 D*
8、(t) *(t)一 质量体 , （ 1）质量守恒方程（连续方程） 在质量体中不存在源和汇的条件下 质量体内的质量不随时间变化， 。 * () 0 Dt D dV Dt 对任何坐标系成立！ （ 2）动量方程（运动方程） 根据牛顿定律 质量体内动量的变化率等于该瞬间作用在质量体上， 的外力之和。 * () () ()Dt Dt t D dV dV dA Dt n VfT 只适用于惯性系！ Turbulence Research Laboratory 第三章 流体动力学的基本原理 （ 3）动量矩方程 在惯性坐标系中，质量体对某点的动量矩随时间的变化率等于 该瞬间外界作用在质量体上所有外力对于同一点的
9、力矩之和 。 * D dV dV dA n rV rf rT () () ()Dt Dt t Dt r 为质量体内任一流体质点到参考点的向径 （ 4） 能量守恒方程（ ） 遵照热力学第一定律，质量体内总能量的变化率等于单位时间内 外力对质量体所做的功和由外界输入质量体内的热量之和 。 * 2 1 2 () () () () Dt Dt t D edV dV dA Dt n VfTV * () () () R Dt t qqdV TdA n Turbulence Research Laboratory 第三章 流体动力学的基本原理 5. 控制体上的守恒方程 Euler 积分型方程 将质量体上的守
10、恒方程用输运公式， 可得到控制体上的守恒方程。 * 0 ()Dt D tt DQ QdV dv Q dA Dt t Vn （ 1）连续方程 ()Q D d0 * () D Dt t dd D A t Vn D dV dA t Vn 物理意义 ： 控制体 D 内质量的增长率等于单位时间 控制面 上流入的质量 。 Turbulence Research Laboratory 第三章 流体动力学的基本原理 （ 2）动量方程 ()Q V * () () () D ddd D Dt Dt t A t n VfT d()d D A t VVnV () DD dV dV dA dA t n VfT VnV
11、控制体内动量 的变化率 作用在控制体内 流体上的合力 通过控制面 流入的动量 = + Turbulence Research Laboratory 第三章 流体动力学的基本原理 （ 3）动量矩方程 ()Q rV D * () () () ddd D Dt Dt t A t n rV rf rT d()d D A t rV rVVn () DD dV dV dA dA t n rV rf rT rVVn 控制体内动量 矩的变化率 作用在控制体内 流体上的合力矩 通过控制面 流入的动量矩 = + Turbulence Research Laboratory 第三章 流体动力学的基本原理 （ 4）能
12、量方程 2 1 2 ( )QeV 2D * * 1 2 () () () () () ddd D dd Dt Dt t R Dt t eA t qq TA n VfVTV n 22 11 d()d D eeA t VVVn 2 1 2 () DD edV dV dA n Vf TV 外力做的功 () R D t qqdV TdA n 外界的 传导热 控制体内总能量 2 1 2 ()edA VVn 通过控制面 流入的能量 的变化率 Turbulence Research Laboratory 3.1 流体动力学积分型基本方程 6. 定常流中的常用公式 (1) 定常流中沿流管截面的质量流量相等；
13、3 n 2 A 2 n 3 A dA dA Vn Vn 定常 0 t ，侧面 3 0 Vn 1 n 1 A 123 A AA 21 AA dA dA VV 不可压缩流体 21 AA V n V n 12 11 2 2nA nA VV 微元流管， 无限小 12 ,A A Turbulence Research Laboratory 3.1 流体动力学积分型基本方程 (2) 理想流体在 势力场 中做绝热 定常 流动 沿流线 的能量方程 2 1 d0 p eA VVn 3 n 2 2 A 2 n 3 A 流管侧面 3 | 0 A Vn 2 p 1 n 1 A 123 A AA 12 1 2 d0 A
14、A eA VVn 微元流管 1 0A 2 0A 流动均匀 22 11 11 1 1 111 2 2 2 2 2 2 2 pp eAe VVn V Vn 由连续方程 AAVn Vn 由连续方程 1111 2222 22 12 11 12 2 2 pp ee VV 2 1 2 L p eC V 沿流线的 Bernoulli方程 2 1 2 L hC V Turbulence Research Laboratory 3.1 流体动力学积分型基本方程 (3) 不可压缩 理想流体势力场中定常流动沿流线的能量方程 热力学第 一 定律 ： 内能增量 +体膨胀作功 =输入的热量定律 ： 1 dd dep q
15、均质不可压缩流体 1 d0const 不可压缩流体中由外界输入的能量 =质量体内的内能增量 2 1 2 2 1 ddd dd d DD eA t qq TA e A n VfVTV nV 2R D 22 11 ddd d DD A A t n VfVTVVn 2 1 2 L p C V 重力场 ： gz 2 1 2 L p gz C V Turbulence Research Laboratory 3.1 流体动力学积分型基本方程 7. 非惯性坐标系中的守恒方程 某些情况下 在非惯性坐标系中流动定常， 附加“惯性力强度项”： f 用 f-a 代替，其中 () ( ) 2 o t aV r r+
16、 V 动坐标系 原点移 向心 加速度 切向 加速度 科氏 加速度 动 加速度 y y z o r V z x o x Turbulence Research Laboratory 总结 控制体上的守恒方程 Euler 积分型方程 dV dA Vn D t () DD dV dV dA dA t n VfT VnV ()dV dV dA dA rV rf rT rVVn DD t n 2 2 1 1 2 2 () () () R D edV dV dAqqdV TdAe dA t n VfTV n Vn 定常流中的常用公式 12 AA dA dA Vn Vn 11 1 1 22 2 2 A A Vn Vn 2 1 ()0 p edA VVn 2 1 p eC V 2 2 L 2 1 2 L p C V 2 1 2 L p gzC V 非惯性坐标系中的守恒方程 () ( ) 2 o t aV r r+ V fa f Turbulence Research Laboratory
