1、函数部分复习 第二课时函数的解析式 第一课时函数与反函数 第三课时函数定义域和值域 第四课时函数的奇偶性 第五课时函数的单调性 第六课时函数的图象 第七课时二次函数 第八课时指数 对数函数 第1课时函数与反函数 要点 疑点 考点 1 映射设A B是两个集合 如果按照某种对应法则f 对于集合A中的任何一个元素 在集合B中都有惟一的元素和它对应 那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射 记作f A B 给定一个集合A到B的映射 且a A b B 如果元素a和元素b对应 那么 我们把元素b叫做元素a的象 元素a叫做元素b的原象设f A B是集合A到集合B的一个映射 如果在这个映射下 对于集合A中的不同
2、元素 在集合B中有不同的象 而且B中每一个元素都有原象 那么这个映射就叫做A到B上的一一映射 2 函数设A B是两非空数集 如果按照某种对应法则f 对于集合A中的任意一个数x 在集合B中都有惟一确定的数y和它对应 那么这样的对应叫做集合A到集合B的一个函数 记作f A B 注意 函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射 3 函数的三要素定义域 值域 对应法则 4 函数的表示法 解析式法 列表法 图象法 5 反函数 设函数y f x 的定义域 值域分别为A C 如果用y表示x 得到x y 且对于y在C中的任何一个值 通过x y 在A中都有惟一确定的值x和它对应 那么就称函数x y y C 叫做
3、函数y f x x A 的反函数 记作x f 1 y 一般改写为y f 1 x 答案 1 C 2 y log3 x 1 x 0 3 1 课前热身 2 函数y 3 x 1 x 0 的反函数是 3 已知函数y f x 的反函数f 1 x x 1 x 0 那么函数y f x 的定义域是 1 若函数y f x 存在反函数 则方程f x 2c c为常数 A 有且只有一个实根B 至少有一个实根C 至多有一个实根D 没有实根 答案 4 A 5 C 4 如果函数y f x 的图象过点 0 1 则y 的图象必过点 A 1 2 B 2 1 C 0 1 D 2 0 5 已知函数y f x 的反函数为f 1 x 2x
4、 1 则f 1 等于 A 0 B 1 C 1 D 4 解题回顾 求f 1 a 的值 解一是先求函数f x 的反函数f 1 x 再求f 1 a 的值 解二是根据原函数f x 与它的反函数f 1 x 的定义域与值域间的关系 转化为求方程f x a解的问题 解一是常规解法 解二较简便 3 已知函数f x 2x 1 2x x R 求f 1 1 3 的值 答案 1 解题回顾 若函数f x 存在反函数f 1 x 则f a b f 1 b a 4 若函数f x ax k的图象过点A 1 3 且它的反函数y f 1 x 的图象过点B 2 0 求f x 的表达式 答案 f x x 2 解题回顾 函数和反函数的图
5、象的画法是描点法 先根据解析式及定义域 值域 函数的特征取若干点画出一个比较易画的函数的图象 然后再利用它们的图象关于直线y x的对称性画出另一个函数的图象 6 已知函数 求它的反函数 并作出反函数的图象 延伸 拓展 返回 1 在判断几个函数是否为同一函数时 一看函数定义域 二看函数对应法则 当且仅当函数定义域与对应法则都相同时它们才是同一函数 误解分析 返回 2 在涉及到反函数问题时 要特别注意原函数与反函数的定义域与值域之间的关系 以及它们图象间的关系 第二课时函数的解析式 例1 1 已知函数f x 满足f logax 其中a 0 a 1 x 0 求f x 的表达式 解 1 令t loga
6、x a 1 t 0 01 x 0 0 a 1 x 0 换元法 2 设函数y f x 的图象关于原点 在x0时f x 等于 利用性质求解 消参法 3已知f x 2f 3x 求f x 的解析式为 4 已知f x ax2 bx c 若f 0 0且f x 1 f x x 1 则f x 解析 f x ax2 bx c f 0 0 可知c 0又f x 1 f x x 1 a x 1 2 b x 1 0 ax2 bx x 1 即 2a b x a b bx x 1 故2a b b 1且a b 1 解得a 1 2 b 1 2 待定系数法 返回 第三课时函数定义域和值域 2 函数定义域的求法 则 则 则 对于实
7、际问题 在求出函数解析式后 必须求出其定义域 此时的定义域要根据实际意义来确定 则 一 求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法 1 配方法 分离变量法 单调性法 图象法 换元法 不等式法等 2 无论用什么方法求函数的值域 都必须考虑函数的定义域 二 函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域 单调性 奇偶性 反函数等一些基本知识相结合的题目 例1已知函数f x 1 1 当a 时 求函数f x 的最小值 1 当a 2 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 1 解当a 1 2时 f x x 2 f x 在区间 1 上为增函数 f x 在区间 1 上的最小值为f 1 2 解
8、 在区间 1 上 f x 0恒成立x2 2x a 0恒成立 设y x2 2x a x 1 y x2 2x a x 1 2 a 1递增 当x 1时 ymin 3 a 当且仅当ymin 3 a 0时 函数f x 0恒成立 故a 3 单调性求值域 换元法求值域 3已知函数f x lg a2 1 x2 a 1 x 1 1 若f x 的定义域为 求实数a的取值范围 2 若f x 的值域为 求实数a的取值范围 记忆结论 返回 第四课时函数的奇偶性 练习 1 下列判断是否正确 1 f x 1既是奇函数又是偶函数 利用对称画函数图像 例1 填空 若函数y f x 满足 1 f 2 x f 2 x 则该函数图像
9、关于对称 2 f 4 x f x 则该函数图像关于对称 3 f 4 x f 6 x 则该函数图像关于对称 4 f 4 2x f 6 2x 则该函数图像关于对称 一般地 满足f a mx f b mx 的函数y f x 关于x 返回 第五课时函数的单调性 y x y x 1 1 1 o x y x y o 2 y x2 2 1 单调增区间 单调增区间 0 单调减区间 0 单调减区间 0 0 1 2 3 观察下列函数图象 写出单调区间 函数的单调性是函数的局部性质 如果对于区间I上任意两个值x1和x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 则称函数y f x 在区间I上是单调增函数 I称为y f
10、 x 的单调增区间 一般地 设函数y f x 的定义域为A 区间IA 如果对于区间I上任意两个值x1和x2 当x1f x2 则称函数y f x 在区间I上是单调减函数 I称为y f x 的单调减区间 证明 对于区间 0 内任意x1 x2且x1 x2 求证 函数f x 在区间 0 上是单调增函数 所以函数f x 在区间 0 上是单调增函数 f x1 f x2 f x1 f x2 区间取值 作差变形 判断符号 给出结论 返回 第六课时函数的图象 图象变换法 常用变换方法有三种 即平移变换 伸缩变换和对称变换 1 平移变换 由y f x 的图象变换获得y f x a b的图象 其步骤是 2 伸缩变换
11、 由y f x 的图象变换获得y Af x A 0 A 1 0 1 的图象 其步骤是 3 对称变换 y f x 与y f x 的图象关于y轴对称 y f x 与y f x 的图象关于x轴对称 y f x 与y f x 的图象关于原点对称 y f x 与y f 1 x 的图象关于直线y x对称 y f x 去掉y轴左边图象 保留y轴右边图象 再作其关于y轴对称图象 得到y f x y f x 保留x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去得到y f x 4 已知f x ax a 0且a 1 f 1 1 2 0 则y f x 1 的图象是 5 将函数y f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1 3 纵
12、坐标不变 再将此图象沿x轴方向向左平移2个单位 则与所得图象所对应的函数是 A y f 3x 6 B y f 3x 2 C y f x 3 2 3 D y f x 3 2 B A 2 作出下列各个函数的示意图 1 y 2 2x 2 y log 1 3 3 x 2 3 y log 1 2 x 解题回顾 变换后的函数图象要标出特殊的线 如渐近线 和特殊的点 以显示图象的主要特征 处理这类问题的关键是找出基本函数 将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链 然后依次进行单一变换 最终得到所要的函数图象 返回 第七课时二次函数 一 定义域为R的二次函数的值域 另外也可以从函数的图象上去理解 1 3 2
13、1 1 2 1 1 3 0 二 定义域不为R的二次函数的值域 练习 解 函数图象的对称轴为直线x 1 抛物线开口向上 例2求函数y x2 2x 3在区间 0 a 上的最值 并求此时x的值 当x 0时 ymax 3当x a时 ymin a2 2a 3 1 当0 a 1时 函数在 0 a 上单调递减 三 定函数动区间的二次函数的值域 当x 0时 ymax 3当x a时 ymin a2 2a 3 函数在 0 1 上单调递减 在 1 a 上单调递增 当x 1时 ymin 2当x 0时 ymax 3 解 函数图象的对称轴为直线x 1 抛物线开口向上 例2求函数y x2 2x 3在区间 0 a 上的最值
14、并求此时x的值 2 当1 a 2时 1 当a 1时 函数在 0 a 上单调递减 函数在 0 1 上单调递减 在 1 a 上单调递增 当x 1时 ymin 2 当x a时 ymax a2 2a 3 例2求函数y x2 2x 3在区间 0 a 上的最值 并求此时x的值 3 当a 2时 2 当1 a 2时 函数在 0 1 上单调递减 在 1 a 上单调递增 当x 1时 ymin 2 当x 0时 ymax 3 解 函数图象的对称轴为直线x 1 抛物线开口向上 1 当a 1时 函数在 0 a 上单调递减 当x 0时 ymax 3 当x a时 ymin a2 2a 3 四 动函数定区间的二次函数的值域 例
15、3 求在上的最值 1 由图 1 得 当 即时 课堂小结 对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题 关键抓住二次函数图象的开口方向 对称轴及定义区间 应用数形结合法求解 返回 第八课时指数 对数函数 指数的运算性质 3 对数关系式 1 loga1 0 a 0 且a 1 2 logaa 1 a 0 且a 1 3 alogaN N a 0 且a 1 N 0 二 对数运算性质 2 logaM logaN 推论 b 规定正分数指数幂的意义 负分数指数幂的意义 的正分数指数幂等于 的负分数指数幂没有意义 又 是减函数 在是减函数 同理在是增函数 例2 求函数的定义域 值域 单调区间 并证明 例4 求函数y
16、log2 1 x2 的值域和单调区间 解 1 x2 0 且1 x2 1 即0 1 x2 1 y 0 故函数的值域为 0 由于此函数的定义域为 1 1 且y log2t在 0 1 上是增函数 又t 1 x2 1 x 1 的单调递增区间为 1 0 单调递减区间为 0 1 故此函数的单调递增区间为 1 0 单调递减区间为 0 1 1 图象全在x轴上方 与x轴无限接近 1 定义域为R 值域为 0 2 图象过定点 0 1 2 当x 0时 y 1 3 自左向右图象逐渐上升 3 自左向右图象逐渐下降 3 在R上是增函数 3 在R上是减函数 4 图象分布在左下和右上两个区域内 4 图象分布在左上和右下两个区域内 4 当x 0时 y 1 当x 0时 0 y 1 4 当x 0时 01 3 对数函数的性质 0 过点 1 0 即当x 1时 y 0 增 减 二 对数运算性质 1 logaM logaN a 0 a 1 M 0 N 0 2 logaM logaN 3 logaMn 三 小结 1 指数函数概念 2 指数比较大小的方法 构造函数法 要点是利用函数的单调性 数的特征是同底不同指 包括可以化为同底的 若底数是参变量要注意分类讨论 搭桥比较法 用别的数如0或1做桥 数的特征是不同底不同指 函数y ax a 0 且a 1 叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域是R
