机械CAE基础作业(湖大).doc

1、1. 有一均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致邻段的压缩或伸长，这种伸缩传开去，就有纵波沿着杆传播。试推导杆的纵振动方程。解：如图1，假设，AB段的运动导致邻段受拉。图中均匀杆选取AB小段，在纵向速度v作用一微小时间段dt后，运动到另一位置。u(x,t)为均匀杆上各质点的位移函数。如图2，对AB段进行受力分析知，AB段在左、右两端的拉力、和其本身的惯性力的作用下平衡，即三者合力为零。 (1) (2) (3) (4)上式中，S为杆的横截面积,E为杆的弹性模量，为杆密度。将式(1)、（2）、（3）代入式（4）得， （5）即 （6）当dx趋于0时，有 （7）即 （8）式（8）即所求的纵振

2、动方程。2. 混凝土内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐释放，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以Q(t) 表示它在单位体积中所储存的热量，Q0 初始时刻所储存的热量，则dQ/dt= -Q，其中 为正常数。又假设混凝土的比热为c、密度为，热传导系数为k，求它在浇筑后温度u 满足的方程。 解：由已知得，混凝土单位体积所存储的热量与时间的关系式： （1）变形得： （2）对式（2）求不定积分，得：+C1 (3)当t=0时，Q=Q0，代入式（3），得：C=Q0。从而，混凝土单位体积存储的能量与时间的关系式为： （4）根据课件中“热传导方程”的求解，单位时间内流入体积V区域中的净热量为：（5）以为研究对象，则：单位时间流入dv的静热量为：（6）由于混凝土中放出水化热，则在dv中存在热源，其单位时间于dv内放出的热量为： （7） （6）从而，单位时间内dv增加的热量为： （8）又由于热力学第一定律，在单位时间内在dv内热量净增加为： （9）式（9）改写成： （10）式（8）和式（10）相等，得： （11）式（11）即所求的温度方程。