1、第33讲平面向量的数量积及应用,平面向量的数量积及应用,1数量积的概念(1)向量的夹角：如图331所示，已知两个非零向量a和b，作则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角，记作,第33讲知识梳理,a，b,第33讲知识梳理,(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量叫做a与b的数量积，记作ab，即.(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cos的乘积2数量积的性质设e是单位向量，(1)eaae|a|cos.(2)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，特别地，aaa2，或|a|.,|a|b|cos,ab|a|b|cos
2、,第33讲知识梳理,ba,(ab),x1x2y1y2,(3)abab0.(4)cos.(5)ab|a|b|.3运算律(1)ab；(2)(a)ba(b)；(3)(ab)cacbc.4向量数量积的坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ab；(2)|a|；,(3)(4)cosa，b；(5)abx1x2y1y20；(6)abx1y2x2y10.,第33讲知识梳理,ab0,探究点1平面向量的数量积概念,第33讲要点探究,例1判断下列各命题正确与否：(1)0a0；(2)0a0；(3)若a0，abac，则bc；(4)若abac，则bc，当且仅当a0时成立；(5)(ab)ca(bc)对任意a，
3、b，c向量都成立；(6)对任意向量a，有a2.,第33讲要点探究,【思路】 利用数量积的概念,【解答】 (1)错，应为零向量；(2)对；(3)错，数量积运算不满足“消去律”；(4)错，当a与bc垂直时也成立；(5)错，数量积不满足结合律；(6)对,【点评】 这是一组概念性问题，通过该题，要清楚向量的数乘与数量积之间的区别与联系，实数的乘法与数量积的区别与联系，并能够结合图形理解其几何意义,第33讲要点探究,变式题 2009福建卷 设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac，ac，则bc的值一定等于()A以a，b为邻边的平行四边形的面积B以b，c为两边的三角
4、形面积C以a，b为两边的三角形面积D以b，c为邻边的平行四边形的面积,【思路】 利用数量积的定义,【解析】 A假设a与b的夹角为，bcbccosb，cbacos(90)basin，即为以a，b为邻边的平行四边形的面积，故选A.,探究点2求平面向量的数量积及模的基本运算,第33讲要点探究,例2(1)2009江苏卷 已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b|，则向量a和向量b的数量积ab_.(2)2009辽宁卷 平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)，|b|1，则|a2b|()A. B C4 D12,【思路】 (2)要利用数量积的定义和公式|a|.,【答案】 (1)3(2)B,第33讲要点
5、探究,【解析】 (1)ab3.(2)由已知|a|2，|a2b|2a24ab4b24421cos60412.|a2b|.,【点评】 本题主要考查数量积的定义和模的基本运算要求数量积就必须知道向量的模和夹角，这是解题的入手点，如下题：,第33讲要点探究,变式题 (1)在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足则等于()A. B. C D(2)2009广东卷 一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A6 B2 C2 D2,【思路】 (1)中(2)中由平衡可知F3F1F20.,第3
6、3讲要点探究,【解析】 (1)A由已知知，P为ABC的重心，根据向量的加法，则(2)D2F1F2cos(18060)28，所以|F3|，选D.,探究点3用平面向量的数量积求夹角,第33讲要点探究,例3 2009重庆卷 已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与向量b的夹角是()A. B.C. D.,【思路】 利用数量积的定义式,第33讲要点探究,【解析】 C因为由条件得aba22，所以ab2a23，设a，b夹角为，则ab|a|b|cos16cos，所以cos，所以.,【点评】 从方程的角度理解平面向量的数量积可以求模、夹角，关键是对定义式的灵活变形,第33讲要点探究,【思路】 要求两向量
7、夹角的取值范围，可先求cos的取值范围,变式题已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A. B.C. D.,第33讲要点探究,【解析】 B由关于x的方程x2|a|xab0有实根，得|a|24ab0，而ab|a|b|cos，cos，.,探究点4平面向量的数量积与垂直问题,第33讲要点探究,例4已知平面向量a(，1)，b.(1)证明：ab；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，且xy，试求函数关系式kf(t)； (3)据(2)的结论，确定函数kf(t)的单调区间,第33讲要点探究,【解答】 (1)证明：abab.(2
8、)xy，xy0，a(t23)b(katb)ka2tk(t23)abt(t23)b20.|a|2，|b|1，ab.k4t(t23)0，即k(t33t)(t0),第33讲要点探究,(3)由(2)和f(t)(t33t)得f(t)(3t23)，令f(t)0得t1或t1，令f(t)0得1t1且t0.函数kf(t)的单调递增区间为(1，)和(，1)单调递减区间为(1,0)和(0,1),【点评】 该例为向量与函数及导数的综合问题，求解时要灵活变换，及时调整思维角度，并注意解题的严谨性(如t0容易忽略),第33讲要点探究,【思路】 由所给条件逐一判定点P的位置,变式题1 2009海南宁夏卷 已知O，N，P在A
9、BC所在平面内，且 且则点O，N，P依次是ABC的()A重心，外心，垂心 B重心，外心，内心C外心，重心，垂心 D外心，重心，内心,第33讲要点探究,【解析】 C由知，O为ABC的外心；由知，N为ABC的重心；BPAC，同理，APBC，P为ABC的垂心，选C.,【点评】 根据abab0这一结论既可以判定垂直，也可以已知垂直得等式应用中注意化简所给的向量式如下题：,第33讲要点探究,【思路】 利用平行，垂直的条件列方程求解,变式题2 2009浙江卷 已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A. B.C. D.,【解析】 D不妨设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)，对于(ca)b，则有3(1m)2(2n)；又c(ab)，则有3mn0，则有m，n.,第33讲规律总结,1利用平面向量的数量积可以求两点间的距离(即向量的模)，可以求夹角，还可以判定垂直2求一个向量的模可以用模的定义，求和(差)向量的模一般先平方，应用数量积计算后再开方3求夹角时注意向量的方向，尤其在三角形中，如计算时向量的夹角为BAC，计算时向量的夹角为BAC.4ab与ab0是等价的，应用非常广泛,
