第5章极限定理.ppt

1、第5章 极限定理,一、大数定律 有关以极限形式建立的概率接近0或1的规律的定理都称为大数定律。 车贝雪夫定理 设X1, X2,Xn 独立, E(Xi )存在,且存在常数C,使得D(Xi)0,有 或 这是用大量试验中事件的频率作为概率近似值的理论根据。 证明：定义随机变量 则在n次试验中A出现的次数 ,由于X1, X2,Xn是相互 独立的随机变量,且每一Xi均服从(0-1)分布,因此,E(Xi )=p , D(Xi )=p (1- p), (i=1, 2, n)再利用 得到 即,泊松定理 设在一个试验序列中,事件A在第i次试验中出现的概率为pi ,若在前n 次试验中, A出现了nA次,则对任意0

2、,有辛钦定理 上述各定理都要求各随机变量Xi(i=1, 2, n )的方差存在且一致有界。 然而,在许多场合这一要求往往不满足,而仅仅满足各随机变量独立同分布 的条件,辛钦给出了这种条件下的大数定律。 设Xi(i=1, 2, n )为独立同分布的随机变量序列,且具有相同的数学期望 E(Xi )= (i=1, 2, n ),则对任意0,有,二、中心极限定理 论述独立随机变量之和的极限分布是正态分布的定理,通称为中心极 限定理。 定义:设xn为相互独立的随机变量序列,各Xi数学期望和方差均存在, 记 记Yn的标准化变量为 若对所有的xR,一致地有 (即当n时, Yn* 的分布函数趋于标准化正态分布

3、),则称随机变量序列服 从中心极限定理。,林德伯格勒维定理 设X1, X2,Xn 是独立同分布的随机变量,且E(Xi )=a ,D(Xi )=2 (i=1, 2, n ),若02 +,则随机变量 当n时,服从正态分布N(0,1),即对任意实数x,有 例:设Xi U(-0.5,0.5),(i=1, 2, n ),试计算 的近似值。 解:,德莫佛拉普拉斯定理 设随机变量Zn(n=1,2,)服从参数为n, p(0p1)的二项分布,则随机变量 当n时,服从正态分布N(0,1),即对任意实数x,有 证明:令 则 因此由林德伯格勒维定理,知 当n时, Yn N(0,1) 。 例:设某种产品的不合格率为0.005,任取10000件,问不合格品少于60件的概率 等于多少? 解:若用Zn表示次品率为p的n件产品中出现的次品数, ZnB(n,p) , n=10000, p=0.005,故所求概率,